等差数列的前n项和性质及应用-副本.ppt

等差数列的通项公式、前 n项和及其性质 an=a1+(n-1)d 知 三 求 二 等差数列的性质 1、an-am=(n-m)d； 2、若m+n=p+q,则am+an=ap+aq; 3、an-m+an+m=2am.(第二条性质与第三条性质两边的项一样多) 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 1、已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，其前n项和为Sn 。 2、设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S6＝30，求首项a1及公差d. 3、设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，求S7的值. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－20 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－20,a1=130 ∴a70,a80 求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14 C 2.等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶－S奇= ; n2d 0 nd － (m+p) 性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项), 此时有 等差数列前n项和与通项的关系 性质5: 为等差数列. an= 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27 例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90 B A 3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 . －110 例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且 求 和 . 等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 . 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1