讲义异方差.docVIP

1.5 假定条件的不成立 用OLS法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。由1.3 节知，只有模型的4个假定条件都满足时，用OLS法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。当一个或多个假定条件不成立时，OLS估计量将丧失上述特性。本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。 以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分为5个步骤。 回顾假定条件。 假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。 定性分析假定条件是否成立。 假定条件是否成立的检验（定量判断）。 假定条件不成立时的补救措施。 1.5.1 同方差假定 模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角矩阵， Var(u) = ( 2I = ( 2 (5.1) 且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 　　　 Var(u) = ( 2 ( = ( 2(( 2 I. (5.2) 当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素ut 取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。比如 ( 中的 (i j ,（i ( j）表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与 uj的协方差。若 ( 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。 本节讨论异方差。下一节讨论自相关问题。以两个变量为例，同方差假定如图5.1和5.2所示。对于每一个xt值，相应ut的分布方差都是相同的。 图5.1 同方差情形 图5.2 同方差情形 1.5.2 异方差表现与来源 异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。递增型异方差见图5.3和5.4。图5.5为递减型异方差。图5.6为条件自回归型异方差。 图5.3 递增型异方差情形 图5.4 递增型异方差 图5.5 递减型异方差 图5.6 复杂型异方差 (1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。 无论是时间序列数据还是截面数据。递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。 1.5.3 异方差的后果 下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。对模型 yt = (0 + (1 xt + ut 当Var(ut) = (t 2，为异方差时（(t 2是一个随时间或序数变化的量），回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。以为例 E()= E() = E() = (1 + = (1 但是回归参数估计量不再具有有效性。仍以为例， Var () = E(-(1)2 = E()2 = E[] = = ( （在上式的推导中利用了ut的非自相关假定、xt与ut非相关假定）。上式不等号右侧项分子中的(t 2不是一个常量，不能从累加式中提出，所以不等号右侧项不等于不等号左侧项。而不等号左侧项是同方差条件下(1的最小二乘估计量的方差。因此异方差条件下的失去有效性。 另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。例如 E(()) ( Var () 下面用矩阵形式讨论。因为OLS估计量无偏性的证明只依赖于模型的一阶矩，所以当Var(u) 如（5.2）式所示时，OLS估计量仍具有无偏性和一致性。 E() = E[ (X X )-1 X Y ] = E[ (X X )-1 X (X ( + u) ] = ( + (X X)-1 X E(u) = ( 但不具有有效性和渐近有效性。而且的分布将受到影响。 　　　 Var() = E [(- ( ) (- ( ) ] = E [(X X )-1 X u u X (X X)-1 ] = (X X)-1 X E (u u ) X (X X )-1 = ( 2 (X X )-1 X ( X (X X )-1 不等于( ( (X X )-1，所以异方差条件下是非有效估计量。 1.5.4 异方差检验 1.5.4.1 定