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讲函数与方程(答案)
第二讲 函数与方程
A:
题型一 判断给定函数有无零点以及零点个数的确定
1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点:
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
解(1)方法一 因为f(1)=-20<0,f(8)=22>0,
所以f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.
方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,
所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.
(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,
∴f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]存在零点.
(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0.
f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0.∴f(1)·f(3)<0
故f(x)=log2(x+2)-x在x∈[1,3]上存在零点.
2.求下列函数的零点:
(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.
解(1)∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0
可得x1=-3,x2=1,x3=2.
∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.
(2)∵x+
解x+即=0,可得x=1或x=2.
∴函数y=x+-3的零点为1,2.
(3);(4)(5)
(6)(7)(8)(9)
2.(1)求函数的零点的个数;
答案1
(2)求函数的零点的个数;
(3)求函数的零点的个数;
(4)求方程在区间[-1,3]内至少有几个实数解;
(5)求函数在[0,2]上的零点的个数;
(6)方程在[1,5]内的实数解至少有多少个?
题型二 一元二次方程根的分布,或二次函数零点问题
1.(1)若函数没有零点,求实数a的取值范围;
(2)若方程只有一个解,求a的取值范围;
(3)函数的一个零点在原点,求m的值;
(4)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求实数a的值;
解(1)若a=0,则f(x)=-x-1,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;
若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,
故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,
解得a=-,
综上所述a=0或a=-.
2.一元二次方程根的分布问题
(1)关于的方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求的取值范围;
(2)关于的方程有两个实根,在[1,3]之外,求的取值范围;
(3)关于的方程有两个实根,在[0,4)内,求的取值范围;
(4)关于的方程有两个实根,在[0,4)内,求的取值范围;
(5)若方程在(0,1)内恰有一个解,求a的取值范围;
(6)判定方程有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2。
(7)若方程的两个根都大于2,求m的取值范围;
(8)关于x的方程有且仅有一根在[-1,1]内,求m的取值范围;
(9)关于x的方程两个不同的实根均在[-1,1]内,求m的取值范围;
(10)关于x的方程两个负根,求k的取值范围;
(11)若函数的图像与x轴有两个交点,求m的取值围;
3. (1)若函数的两个零点是2和-4,求的a,b的值;
(2)若函数有一个零点是2,求函数的零点;
(3)若函数的两个零点是2和3,求函数的零点;
答案 -,-
(4)关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间[0,1]上,另一根在区间[1,2]上,则2a+3b的最大
值为 .
答案 9
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
解: (2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,
即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根. 8分
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
作出g(x)的图象,由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根,
那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.
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