讲函数与方程(答案).docVIP

第二讲 函数与方程 A: 题型一 判断给定函数有无零点以及零点个数的确定 1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］； （2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］； （3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1，3］. 解（1）方法一 因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0， 所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x2-3x-18，x∈［1，8］存在零点. 方法二 令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］存在零点. （2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0, ∴f（x）=x3-x-1，x∈［-1，2］存在零点. （3）∵f（1）=log2（1+2）-1＞log22-1=0. f(3)=log2(3+2)-3＜log28-3=0.∴f（1）·f（3）＜0 故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点. 2.求下列函数的零点： (1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3. 解（1）∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6) =x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3) 解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0 可得x1=-3,x2=1,x3=2. ∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2. (2)∵x+ 解x+即=0,可得x=1或x=2. ∴函数y=x+-3的零点为1，2. （3）；（4）（5） （6）（7）（8）（9） 2.（1）求函数的零点的个数； 答案1 （2）求函数的零点的个数； （3）求函数的零点的个数； （4）求方程在区间[-1，3]内至少有几个实数解； （5）求函数在[0，2]上的零点的个数； （6）方程在[1，5]内的实数解至少有多少个？ 题型二 一元二次方程根的分布，或二次函数零点问题 1.（1）若函数没有零点，求实数a的取值范围； （2）若方程只有一个解，求a的取值范围； （3）函数的一个零点在原点，求m的值； （4）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值； 解（1）若a=0，则f(x)=-x-1, 令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意； 若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数， 故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0， 解得a=-， 综上所述a=0或a=-. 2.一元二次方程根的分布问题 （1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围； （2）关于的方程有两个实根，在[1，3]之外，求的取值范围； （3）关于的方程有两个实根，在[0，4）内，求的取值范围； （4）关于的方程有两个实根，在[0，4）内，求的取值范围； （5）若方程在（0，1）内恰有一个解，求a的取值范围； （6）判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。 （7）若方程的两个根都大于2，求m的取值范围； （8）关于x的方程有且仅有一根在[-1，1]内，求m的取值范围； （9）关于x的方程两个不同的实根均在[-1，1]内，求m的取值范围； （10）关于x的方程两个负根，求k的取值范围； （11）若函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值围； 3. （1）若函数的两个零点是2和-4，求的a，b的值； （2）若函数有一个零点是2，求函数的零点； （3）若函数的两个零点是2和3，求函数的零点； 答案 -，- （4）关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b的最大 值为 . 答案 9 （2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围. 解: （2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点， 即|4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根. 8分 令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)的图象，由图象可知如果要使|4x-x2|=-a有四个根， 那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点.