- 1、本文档共13页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
讲函数的极限典型例题
第二讲 函数的极限
一 内容提要
1.函数在一点处的定义
使得,有.
右极限
使得,有.
左极限
使得,有.
注1 同数列极限一样,函数极限中的同样具有双重性.
注2 的存在性(以为例):在数列的“”定义中,我们曾经提到过,的存在性重在“存在”,而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要;对也是如此,只要对给定的,能找到某一个,能使时,有即可.
注3 讨论函数在某点的极限,重在局部,即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于.
注4 .
注5 ,有,称为归结原则――海涅(Heine)定理.它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化.因此,利用定理必要性的逆否命题,可以方便地验证某些函数极限不存在;而利用定理的充分性,又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题.(会叙述,证明,特别充分性的证明.)
注6 ,,有.
2 函数在无穷处的极限
设在上有定义,则
使得,有.
使得,有.
使得,有.
注1 .
注2 ,有.
3 函数的有界
设在上有定义,若存在一常数,使得,有,则称在上有界.
4 无穷大量
使得,有.
使得,有.
类似地,可定义,,,等.
注 若,且和,使得,有,则.
特别的,若,,则.
5 无穷小量
若,则称当时为无穷量.
注1 可将改为其它逼近过程.
注2 ,其中.由于有这种可以互逆的表达关系,所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代.
注3 ,在的某空心邻域内有界,则.
注4 ,且当足够大时,有界,则.
注5 在某一极限过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零的无穷小量的倒数是无穷大量.
6 函数极限的性质
以下以为例,其他极限过程类似.
(1),则极限唯一.
(2),则,使得,有.
(3),,且,则,使得,有
注 这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍.
(4),,且当时,则.
(5),,则
()
要求:①进行运算的项数为有限项;②极限为有限数.
7 夹逼定理
若使得,有,且
,则.
8 Cauchy收敛准则
函数在的空心邻域内极限存在使得,当,时,有.
9 无穷小量的比较
设,,且,则
(1)当时,称为的高阶无穷小量,记作;
(2)当时,称为的低阶无穷小量;
(3)当且时,称为的同阶无穷小量.
特别的,当时,称和为等价的无穷小量,记作~.
注1 上述定义中,自变量的变化过程也可用,,,,之一代替.
注2 当时,常见的等价无穷小有:
~,~,~,~,~,~
在用等价无穷小替换计算极限时,一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换.因为:
若~(),则
或 (为某逼近过程).
而对于非乘积因式,这样的替换可能会导致错误的结果.
注4 在某一极限过程中,若为无穷小量,则在此极限过程,有
~.
10 两个重要极限
(1); (2).
二、典型例题
例 用定义证明下列极限:
(1);
(2).
例 ,证明:
(1)若,则有;
(2).
例 设是上的严格严格单调函数,又若对(),有,试证明:.
例 函数在点的某邻域内有定义,且对(),且
(),有,证明:.
例 设函数,,满足(),且
()
则 ()
问:在题设条件下,是否有?答:否.如.
例 设函数在上满足议程,且,则
().
例 求下列函数极限
(1)();
(2)();
(3).
例 求下列极限
(1);
(2);
(3).
例 求下列极限:
(1);
(2).
例 求下列极限:
(1);
(2).
例 求下列极限:
(1);
(2);
(3)设(),求.
例 (1)已知,求常数;
(2)已知,求.
8
您可能关注的文档
- 计量经济学试验报告书.doc
- 计量经济学经典单方程计量经济学模型:多元线性回归模型.doc
- 计量经济学非线性回归模型的线性化.doc
- 订做船模制作船模船模生产制作.doc
- 认识小数单元练习.doc
- 认识小数教案().doc
- 认识概率辅导课.doc
- 认识两位小数.doc
- 让WM更快之注册表优化修改指南.doc
- 让你笑弯了腰的小笑话.doc
- 专题02 阅读理解说明文+其他(饮食、天气与气候、历史、自然地理、通讯与媒体、文学)(解析版).docx
- 专题05 应用文(第1期)-2024届广东高考英语模拟试题分项汇编(教师版).docx
- 专题09 (人教版2019)单词拼写30题+单句语法填空30题+翻译句子20题(解析版).docx
- 高二上期中考词汇复习选必修1Unit 3(原卷).docx
- 专题10 翻译句子+根据汉语意思填空-【好题汇编】备战2023-2024学年高二英语上学期期中真题分类汇编(全国通用)(原卷版).docx
- 高二上期中考词汇复习选必修1Unit 2(原卷).docx
- 湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期(9月)综合自主测试化学Word版含解析.docx
- 专题07 读后续写(解析版).docx
- 专题48.主旨大意题——抽取主干细加工(教师版通用版).docx
- 高二期中复习名校好题练手卷(一)(原卷).docx
最近下载
- 内蒙古鄂尔多斯准格尔经济开发区(大路产业园)区域性地震安全性评价报告.docx VIP
- 部编版六年级语文上册《夏天里的成长》课件.pptx
- 山西省2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析).pdf VIP
- 长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期期中考试物理试题及参考答案.pdf VIP
- 精品解析:山东省菏泽市2023-2024学年高二上学期11月期中化学试题(解析版).docx VIP
- 离婚协议书标准版下载[汇编].pdf
- 2023年山东省青岛西海岸新区自然资源局遴选劳务派遣人员69人笔试参考题库(共500题)答案详解版.docx
- 消融电极产品技术要求模板.docx
- YBT 6016-2022球墨铸铁管绿色工厂评价要求.pdf
- “双减”背景下家校共育的问题及策略.doc
文档评论(0)