讲函数的极限典型例题.docVIP

第二讲 函数的极限 一 内容提要 1.函数在一点处的定义 使得，有. 右极限 使得，有. 左极限 使得，有. 注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性． 注2　的存在性（以为例）：在数列的“”定义中，我们曾经提到过，的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要；对也是如此，只要对给定的，能找到某一个，能使时，有即可． 注3　讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于． 注4　． 注５　，有，称为归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．） 注6　，，有． 2　函数在无穷处的极限 设在上有定义，则 使得，有． 使得，有． 使得，有． 注１　． 注２　，有． ３　函数的有界 设在上有定义，若存在一常数，使得，有，则称在上有界． ４　无穷大量 使得，有． 使得，有． 类似地，可定义，，，等． 注　若，且和，使得，有，则． 　　特别的，若，，则． ５　无穷小量 若，则称当时为无穷量． 注1 可将改为其它逼近过程． 注2 ，其中．由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 ，在的某空心邻域内有界，则． 注4 ，且当足够大时，有界，则． 注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质 以下以为例，其他极限过程类似． （1），则极限唯一． （2），则，使得，有． （3），，且，则，使得，有 注 这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍． （4），，且当时，则． （5），，则 （） 要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若使得，有，且 ，则． 8 Cauchy收敛准则 函数在的空心邻域内极限存在使得，当，时，有． 9 无穷小量的比较 设，，且，则 （1）当时，称为的高阶无穷小量，记作； （2）当时，称为的低阶无穷小量； （3）当且时，称为的同阶无穷小量． 特别的，当时，称和为等价的无穷小量，记作～． 注1 上述定义中，自变量的变化过程也可用，，，，之一代替． 注2 当时，常见的等价无穷小有： ～，～，～，～，～，～ 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为： 若～（），则 或 （为某逼近过程）． 而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果． 注4 在某一极限过程中，若为无穷小量，则在此极限过程，有 ～． 10 两个重要极限 （1）； （2）． 二、典型例题 例 用定义证明下列极限： （1）； （2）． 例　，证明： （1）若，则有； （2）． 例　设是上的严格严格单调函数，又若对（），有，试证明：． 例　函数在点的某邻域内有定义，且对（），且 （），有，证明：． 例 设函数，，满足（），且 （） 则 （） 问：在题设条件下，是否有？答：否．如． 例 设函数在上满足议程，且，则 （）． 例 求下列函数极限 （1）（）； （2）（）； （3）． 例 求下列极限 （1）； （2）； （3）． 例 求下列极限： （1）； （2）． 例 求下列极限： （1）； （2）． 例 求下列极限： （1）； （2）； （3）设（），求． 例 （1）已知，求常数； （2）已知，求． 8