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第三讲 割圆术及极限方法 实验目的 1．介绍刘徽的割圆术． 2．理解极限概念. 3．学习matlab求函数极限命令。 实验的基本理论及方法 1．割圆术 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想． 刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。 2．斐波那奇数列和黄金分割 ,, 3．学习matlab命令. matlab求极限命令可列表如下: 表2.1 数学运算 matlab命令 limit(f) limit(f，x，a)或limit(f，a) limit(f，x，a，’left’) limit(f，x，a，’right’) matlab代数方程求解命令solve调用格式. Solve(函数) 给出的根. 4．理解极限概念. 数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列当时的变化趋势. 解:输入命令: n=1:100；xn=n./(n+1) 得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，与1非常接近，画出的图形. stem(n，xn) 或 for i=1:100; plot(n(i),xn(i),’r’) hold on end 其中for … end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无限接近，因此可得结论: . 对函数的极限概念，也可用上述方法理解. 例2.2.分析函数，当时的变化趋势. 解:画出函数在上的图形. x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y) 从图上看，随着的减小，振幅越来越小趋近于0，频率越来越高作无限次振荡.作出的图象. hold on；plot(x，x，x，-x) 例2.3.分析函数当时的变化趋势. 解:输入命令: x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y) 从图上看，当时，在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，发现图象的某些峰值不是１和-１，而我们知道正弦曲线的峰值是１和-１，这是由于自变量的数据点选取未必使取到１和-１的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果． 例2.4.考察函数当时的变化趋势. 解:输入命令: x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y) 从图上看，在附近连续变化，其值与1无限接近，可见 . 例2.5.考察当时的变化趋势. 解:输入命令: x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y) 从图上看，当时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是. 5．求函数极限 例2.6.求. 解:输入命令: syms x;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,-1) 得结果ans=-1.画出函数图形. ezplot(f);hold on;plot(-1,-1,’r.’) 例2.7.求 解:输入命令: limit((tan(x)-sin(x))/x^3) 得结果:ans=1/2 例2.8.求 解:输入命令: limit(((x+1)/(x-1))^x,inf) 得结果:ans=exp(2) 例2.9.求 解:输入命令: limit(x^x,x,0,’right’) 得结果:ans =1 例2.10.求 解:输入命令: limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,’right’) 得结果:ans=exp(-1)