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讲变化率与导数导数的运算(学案)
第1讲 变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】
1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.
2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导.
【复习指导】
本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为.
若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.函数y=f(x)在x=x0处的导数
定义的自变量在处有增量,那么函数相应的有增量,比值就叫函数在到之间的平均变化率即,当时有极限,就说函数在点处可导,并把这个机限叫做在点处的导数,记作或y′|x=x0,即f′(x0)=.
函数f(x)的导函数
称函数f′(x)=为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).时,物体的运动在时刻的瞬时速度即
4.基本初等函数的导数公式
若f(x)=c,则f′(x)=0;
若f(x)=xα(αR),则f′(x)=αxα-1;
若f(x)=sin x,则f′(x)=cos x;
若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x;
若f(x)=ax(a0,且a≠1),则f′(x)=axln_a;
若f(x)=ex,则f′(x)=ex;
若f(x)=logax(a0,且a≠1),则f′(x)=;
若f(x)=ln x,则f′(x)=.
5.导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′= (g(x)≠0).
6.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy), 则=( )
=( )
变式题.若,则等于 ( )
A. B. C. D.
:例二求下列各函数的导数:
y=xnex;(2)y=;(3)y=exln x;(4)y=(x+1)2(x-1).求下列各函数的导数:
(1)y=;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=sin;(4)y=+;
(1)求曲线在点处的切线方程(2)求曲线过点处的切线方程
变式 已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程
(3)若曲线的某一切线与直线垂直,求切点坐标与切线的方程
4.已知及若它们的图像有公共点,且在公共点处的切线均要重合,求的值
变式已知抛物线和有且只有一条公切线求并求出公切线方程
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