讲图形描绘曲率.docVIP

第四讲 图形描绘 曲率 授课题目：§3.6函数图形的描绘§3.7曲率 教学目的与要求： 1.掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形 2.了解并会计算曲率及曲率半径． 教学重点与难点： 重点：曲率及曲率半径的定义． 难点：曲率及曲率半径的应用． 讲授内容： 一、函数图形的描绘 将前面关于函数性态讨论的结果应用到函数的作图上，可以把函数的图形画得比较准确． 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下； 第一步 确定函数的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等）； 第二步 求和及和的根或和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间； 第三步 根据和符号，确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点； 第四步 找水平渐近线 或 铅直渐近线 或 第五步 找特殊点（与坐标轴交点、的间断点、极值点、拐点），有时还需要补充一些点. 例1 画出函数的图形． 解 (1)定义域为()， ，的零点为、1； ． 的零点为， (2)将点，，1由小到大排列，依次把定义域()划分成下列四个部分区间： ()，，，． (3)列表如下： （） （） （） 1 （） + 0 — — — 0 + — — — 0 + + + 的图形 极大 拐点 极大 (4) 当时，；当时，； (5) 算出处的函数值： （），（），（）. 适当补充一些点．如计算出 ， 就可补充描出点（），点（0，1）和点（）.结合（3）、（4）中得到的结果，画出的图形（图4）. 例5 描绘函数的图形． 解(1)定义域为（）.(2)是偶函数，只讨论上该函数的图形． （3） ，令 ； . 令 ． 列表： 0 （0，1） 1 （） 0 — — — — — 0 + 的图形 极大 拐点 (4)由于，所以图形有一条水平渐近线． (5)算出，又，得函数图形上的三点，和. 画出函数在[]上的图形．最后，利用图形的对称性，便可得到函数在上的图形(图5)． 二、弧微分 作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的撅念． 设函数在区间()内具有连续导数．在曲线上取固定点作为度量弧长的基点(图1)，并规定依增大的方向作为曲线的正向．对曲线上任一点，规定有向弧段的值(简称为弧)如下：的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时，相反时．显然，弧是的函数：，而且是的单调增加函数．下面来求的导数及微分． 设为()内两个邻近的点．它们在曲线上的对应点为(图3—20)，并设对应于的增量，弧的增量为．那末 . 于是 ， . 令取极限，由于时，，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即，又，因此得．由于是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有 ． 这就是弧微分公式． 三、曲率及其计算公式 我们直觉地认识到；直线不弯曲，半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害些，而其他曲线的不同部分有不同的弯曲程度，例如抛物线在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害些． 在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度．例如，船体结构中的钢梁，机床的转轴等，它们在荷载作用下要产生弯曲变形，在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制，这就要定量地研究它们的弯曲程度．为此首先要讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度． 在图2中可以看出，弧段比较平直，当动点沿这段弧从移动到时，切线转过的角度不大，而弧段，弯曲得比较厉害，角就比较大． 但是，切线转过的角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度．例如，从图3中可以看出，两段曲线及尽管切线转过的角度都是，然而弯曲程度并不相同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些．由此可见，曲线弧的弯曲程度还与弧段的长度有关． 按上面的分析，我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下． 设曲线C是光滑，在曲线C上选定一点作为度量弧的基点．设曲线上点M对应于弧，在点M处切线的倾角为(这里假定曲线C所在的平面上已设立了坐标系)，曲线上另外一点对应于弧，在点处切线的倾角为(图4)，那未，弧段的长度为，当动点从M移动到时切线转过的角度为． 我们用比值，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段的平均曲率、并记作，即.类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当时(即时)，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，即.在存在的条件下，K也可以表示为 . (2) 对于直线来说．切线与直线