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讲图形描绘曲率
第四讲 图形描绘 曲率
授课题目:§3.6函数图形的描绘§3.7曲率
教学目的与要求:
1.掌握函数作图的方法和步骤,会描绘简单函数的图形
2.了解并会计算曲率及曲率半径.
教学重点与难点:
重点:曲率及曲率半径的定义.
难点:曲率及曲率半径的应用.
讲授内容:
一、函数图形的描绘
将前面关于函数性态讨论的结果应用到函数的作图上,可以把函数的图形画得比较准确.
利用导数描绘函数图形的一般步骤如下;
第一步 确定函数的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等);
第二步 求和及和的根或和不存在的点,用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间;
第三步 根据和符号,确定函数图形的升降和凹凸,极值点和拐点;
第四步 找水平渐近线 或
铅直渐近线 或
第五步 找特殊点(与坐标轴交点、的间断点、极值点、拐点),有时还需要补充一些点.
例1 画出函数的图形.
解 (1)定义域为(),
,的零点为、1;
. 的零点为,
(2)将点,,1由小到大排列,依次把定义域()划分成下列四个部分区间: (),,,.
(3)列表如下:
() () () 1 () + 0 — — — 0 + — — — 0 + + +
的图形 极大 拐点 极大 (4) 当时,;当时,;
(5) 算出处的函数值: (),(),().
适当补充一些点.如计算出 ,
就可补充描出点(),点(0,1)和点().结合(3)、(4)中得到的结果,画出的图形(图4).
例5 描绘函数的图形.
解(1)定义域为().(2)是偶函数,只讨论上该函数的图形.
(3) ,令 ;
. 令 .
列表:
0 (0,1) 1 () 0 — — — — — 0 + 的图形 极大 拐点 (4)由于,所以图形有一条水平渐近线.
(5)算出,又,得函数图形上的三点,和.
画出函数在[]上的图形.最后,利用图形的对称性,便可得到函数在上的图形(图5).
二、弧微分
作为曲率的预备知识,先介绍弧微分的撅念.
设函数在区间()内具有连续导数.在曲线上取固定点作为度量弧长的基点(图1),并规定依增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点,规定有向弧段的值(简称为弧)如下:的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的正向一致时,相反时.显然,弧是的函数:,而且是的单调增加函数.下面来求的导数及微分.
设为()内两个邻近的点.它们在曲线上的对应点为(图3—20),并设对应于的增量,弧的增量为.那末
.
于是
,
.
令取极限,由于时,,这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1,即,又,因此得.由于是单调增加函数,从而根号前应取正号,于是有 .
这就是弧微分公式.
三、曲率及其计算公式
我们直觉地认识到;直线不弯曲,半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害些,而其他曲线的不同部分有不同的弯曲程度,例如抛物线在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害些.
在工程技术中,有时需要研究曲线的弯曲程度.例如,船体结构中的钢梁,机床的转轴等,它们在荷载作用下要产生弯曲变形,在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制,这就要定量地研究它们的弯曲程度.为此首先要讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度.
在图2中可以看出,弧段比较平直,当动点沿这段弧从移动到时,切线转过的角度不大,而弧段,弯曲得比较厉害,角就比较大.
但是,切线转过的角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度.例如,从图3中可以看出,两段曲线及尽管切线转过的角度都是,然而弯曲程度并不相同,短弧段比长弧段弯曲得厉害些.由此可见,曲线弧的弯曲程度还与弧段的长度有关.
按上面的分析,我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下.
设曲线C是光滑,在曲线C上选定一点作为度量弧的基点.设曲线上点M对应于弧,在点M处切线的倾角为(这里假定曲线C所在的平面上已设立了坐标系),曲线上另外一点对应于弧,在点处切线的倾角为(图4),那未,弧段的长度为,当动点从M移动到时切线转过的角度为.
我们用比值,即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度,把这比值叫做弧段的平均曲率、并记作,即.类似于从平均速度引进瞬时速度的方法,当时(即时),上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率,记作K,即.在存在的条件下,K也可以表示为 . (2)
对于直线来说.切线与直线
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