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讲圆柱的体积
第2讲 圆柱体体积与容积
第一部分 旧知回顾
1.体积与容积的概念及其区别
(1)体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。用V表示,常用的体积单位有:立方厘米、立方分米、立方米。
(2)容积:容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。常用的容积单位有:升、毫升。
(3)体积与容积的异同点:容积的计算方法跟体积的计算方法相同,计算容积要从容器里面量长、宽、高,计算体积时要从外面量长、宽、高。
(4)常用的体积与容积单位换算:1立方分米=1升,1立方厘米=1毫升
2.正方体与长方体体积的计算公式
(1)V正方体=S底×h=a3 (2)V长方体=S底×h=abh
第二部分 新知梳理
1.圆柱体积的含义和计算公式的推导
(1)圆柱体积含义:一个圆柱所占空间的大小,叫作圆柱的体积。
(2)圆柱体积计算公式的推导(如图所示):把圆柱的底面平均分成若干个扇形,再将这些扇形沿着圆柱的高把圆柱切开,拼起来就可以得到一个近似的长方体,长方体的长相当于底面圆的周长的一半,宽相当于底面圆的半径,高相当于圆柱的高,长方体的体积等于圆柱的体积。因为长方体的体积等于底面积乘以高,所以圆柱体积公式是:V圆柱=S底×h或
注意:平均分的分数越多(所分的份数必须是偶数份),每份扇形的底面就越小,弧就越短,拼起来的长方体的长就越接近于一条线段,这样整个形体就越接近于长方体。
2.圆柱体积公式的运用
(1)已知圆柱的底面积和高,求体积。 (2)已知圆柱的底面半径、直径和高,求体积。
(3)已知圆柱的底面周长和高,求体积。
3.圆柱形容器容积的计算方法
(1)计算方法:圆柱体容积的计算方法与圆柱体积的计算方法相同,但应从容器的内部测量底面半径、直径和高。
第三部分 能力点拨
能力1 圆柱体积公式的应用
1.已知圆柱的底面积和高,求体积
例题:一根圆柱形的钢材,底面积是50平方厘米,高是2.1米,它的体积是多少立方厘米?
2.已知圆柱的底面半径、直径和高,求体积
例题:一根圆柱形的木料,量得底面半径是20厘米,高是2米,这根木料的体积是多少立方厘米?
3.已知圆柱的周长和高,求体积
例题:一个圆柱的底面周长是188.4分米,高是15分米,它的体积是多少立方分米?
能力2 求圆柱形容器的容积
1.已知圆柱形容器的内部底面积和高,求容积
例题:一个圆柱形水桶,其内部的底面积是314平方厘米,高是25厘米,它的容积是多少立方厘米?
2.已知圆柱的内部半径、直径和高,求容积
例题:一个圆柱形容器,其内部的半径是16厘米,高20厘米,这个容器的容积是多少立方厘米?
3.已知圆柱形容器内部的底面周长和高,求容积
例题:圆柱形容器底面内部的周长是50.24厘米,容器的高是10厘米,这个圆柱形容器的容积是多少立方厘米?
能力3 求最大体积问题
例题:一个长方体同一个顶点的三条棱长分别为2厘米、3厘米、4厘米,以其中一个面为底面,把它削成一个体积最大的圆柱,求削去部分的体积是多少立方厘米?
能力4 切割问题
1.沿着直径横切
例题:一个高是10厘米的圆柱形木块,如果沿着它的直径切去高为2厘米的一段,表面积就减少18.84平方厘米,原来圆柱的体积是多少立方厘米?
2.沿着直径竖切
例题:将一个圆柱形的木桩沿着直径切开,截面是一个正方形,切成的一块中半圆形的底面周长是25.7厘米,求圆柱的体积是多少立方厘米?
能力5 熔铸问题
例题:把一个长、宽、高分别是8厘米、5厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长总和为60厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱,它的底面半径是4厘米,则圆柱的高是多少厘米?
能力6 颠倒放置问题
例题:一个饮料瓶里面深27厘米,底面内直径是8厘米,瓶里饮料深15厘米。把饮料瓶塞紧后向下倒立,这时饮料深20厘米。问饮料瓶容积是多少?
能力7 水面的升降问题
例题:在一只底面半径为30厘米的圆柱形蓄水桶里,有一段半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中,当钢材从蓄水桶中取出时,桶里的水面下降了5厘米。这段钢材的高是多少厘米?
第四部分 过关检测
基础达标
一、填空题
1.圆柱体体积计算公式是(
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