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第9讲 导数的概念及达布定理 授课题目 导数的概念及达布定理 教学内容 1. 函数的导数定义；2. 函数的左导数，右导数；3. 导函数的概念，4. 导数的几何意义；5. 费马定理与达布定理． 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握函数在一点处的导数是差商的极限，理解函数的左导数，右导数，理解导数的几何意义，掌握函数可导性与连续性的关系，理解费马定理，了解达布定理． 教学重点及难点 教学重点：导数的定义和导数的几何意义； 教学难点：达布定理. 教学方法及教材处理提示 (1) 本讲的重点是导数的定义和导数的几何意义．讲清函数导数是从瞬时速度和切线的斜率等实际问题抽象出来，会求基本初等函数的导数与平面曲线的切线和法线。 (2) 由于函数在一点处的导数是差商的极限，从左（右）极限出发引入左右导数概念． (3)在对一些基本初等函数导数公式的推导时，着重讲清讲透几个公式，使学生加深对导函数的理解. (4) 本讲的难点是达布定理．对较好学生要求掌握，且可布置运用达布定理的习题． 作业布置 作业内容：教材 :3，4，9，12，13，16，补充2道题. 讲授内容 一、导数的定义 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的． 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念． 1．瞬时速度 设一质点作直线运动，其运动规律为．若为某一确定的时刻，为邻近于的时刻，则是质点在时间段[](或)上的平均速度．若时平均速度的极限存在，则称极限为质点在时刻的瞬时速度． 2．切线的斜率 如图5—1所示，曲线在其上一点处的切线是割线当动点沿此曲线无限接近于点时的极限位置．由于割线的斜率为　，因此当时如果的极限存在， 则极限即为切线的斜率． 上述两个问题中，前一个是运动学的问题，后一个是几何学的问题，但是它们都可以归结为同类型的极限．面我们给出导数的定义． 定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作． 令则可写为 所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数则为在处关于的变化率． 求函数在点处的导数，并求曲线在点(1，1)处的切线方程. 解 =, 由此知道抛物线在点(1，1)处的切线斜率为所以切线方程为：. 例2 证明函数在点处不可导. 证 因为， ，所以在点处不可导． 定义2 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 ，存在，则称该极限值为在的右导数，记作． 类似地，我们可定义左导数. 定理5．1 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且=. 例3 显然常量函数在任何一点的导数都等于零，即. 定理5．2 若函数在点可导，则在点连续． 证明：设在点可导，那么是当时的无穷小量，于是即 我们称为在点的有限增量公式（此公式对仍旧成立）．. 注 可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件．如例2中的函数在点处连续，但不可导． 例4 证明函数仅在点处可导，其中为狄利克雷函数. 证 当时，由归结原理可得在处不连续，所以由定理5．1，在处不可导．当时，由于为有界函数，因此得到 例 5 设 讨论在处的左、右导数与导数． 解：，，当时，于是，所以在处不可导；当时，在处不可导且. 二、导函数 若函数在区间上每一点都可导(对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称为上的可导函数．此时对每一个，都有的一个导数(或单侧导数)与之对应．这样就定义了一个在上的函数，称为在上的导函数，也简称为导数．记作或，即有时也写作或 例 6 证明(i)为正整数；(ii) (iii)特别.（ⅳ），特别. 证 (i) 对于，由于 因此= （ii）下面证第一个等式，类似地可证第二个等式. 由于以及是上的连续函数，因此得到 (iii) 由于 ， 所以 =.特别有. 三、导数的几何意义 由导数的定义，，所以曲线在点的切线方程是 这就是说：函数在点的导数是曲线在点的切线斜率． 例7 求曲线y在点P(处的切线方程与法线方程． 解 由于， 所以根据(7)式，曲线在点的切线方程为 由解析几何知道，若切线斜率为，则法线斜率为从而过点的法线方程为 因此曲线过点的法线方程为=若，则法线方程为． 定义3 若在点的某邻域内对一切有 则称函数在点取得极大(小)值，