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第7讲 平方根、立方根 一、学习目标 1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根. 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，能用立方运算求某些数的立方根. 3、能进行方根的估算，会区分立方根与平方根的不同. 考情分析 中考对这部分知识的考查一般分成两种情况:一是在实数的运算中,一是在解决综合问题中.虽然很少单独考查,但是由于它是学习无理数的前奏,是实数运算中必不可少的内容,故中考时常与其他知识综合考查. 二、基础知识·轻松学 1.算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a,那么这个正数x就叫做a的算数平方根，a的算术平方根记为，读作“根号a”,a叫做被开方数. 【精讲】（1）被开方数表示非负数，即≥0. (2)0的算术平方根是0. （3）也表示非负数，即≥0．即：非负数的算术平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即＜0时，无意义．如： ＝4，5是25的算术平方根，无意义． 2.平方根 （1）平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根 (或二次方根)．就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根．因为3和-3的平方都是9，所以3和-3都是9的平方根. （2）平方根的性质： 正数有两个平方根，它们是互为相反数．记作：. 0的平方根是0，记作：. 负数没有平方根． 【精讲】算术平方根与平方根的区别与联系： （1）区别 ①定义不同：如果x2=a,那么x叫做a的平方根，正数a的正的平方根叫做a的算术平方根. ②个数不同：正数有两个平方根, 而算术平方根只有一个. ③表示方法不同：正数的平方根表示为, 正数的算术平方根表示为. ④结果不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． （2）联系 ①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个． ②存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有． ③0的平方根、算术平方根均为0． 3．开平方 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方. 【精讲】(1)开方与平方互为逆运算.（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根就是这个数的算术平方根. 4.立方根 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根) ．用式子表示就是，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．因为2的立方为8，所以8的立方根为2. 5.开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．一个数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数， 3是根指数．注意：根指数3不能省略． 【精讲1】（1）开立方与立方也是互为逆运算.（2）一个数的立方根是唯一的，正数的立方根是正数；负数的立方根是负数. 0的立方根是0．（3）求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求. 【精讲2】（1）立方根不同于平方根，负数同正数一样都有一个立方根.（2）立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即=－．因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根. 【精讲3】平方根与立方根的联系与区别 （1）联系 ①都与相应的乘方运算互为逆运算．开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算． ②平方根、立方根都是开方的结果. ③0的平方根、立方根都有一个是0. (2)区别： （1）定义不同 如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根； 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根. （2）写法不同 在用符号表示平方根时，根指数2可省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略． （3）个数不同 任何一个正数有两个平方根，0的平方根有一个是0，负数没有平方根； 任何一个数都有一个立方根． （4）表示法不同 正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为. （5）被开方数的取值范围不同 ±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数. 三、重难疑点·轻松破 1.求算术平方根和平方根 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.一般的，.被开方数的小数点向右或向左每移动两位，算术平方根则相应地向右或向左移动一位． 例1. 求下列各数的平方根： 点评: 求一个数的平方根，也就是求一个非负数是什么数的平方.由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当≥0时，≥0(当＜0时，无意义) ,用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为 (应是非负数) 的正方形的边长就表示的算术平方根. 变式1、计算： 2.求立方根 立方根是与平方根等同的两个概念，在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上,很容易学习,要注意: