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讲平方根立方根
第7讲 平方根、立方根
一、学习目标
1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根.
2、了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,能用立方运算求某些数的立方根.
3、能进行方根的估算,会区分立方根与平方根的不同.
考情分析
中考对这部分知识的考查一般分成两种情况:一是在实数的运算中,一是在解决综合问题中.虽然很少单独考查,但是由于它是学习无理数的前奏,是实数运算中必不可少的内容,故中考时常与其他知识综合考查.
二、基础知识·轻松学
1.算术平方根
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算数平方根,a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
【精讲】(1)被开方数表示非负数,即≥0.
(2)0的算术平方根是0.
(3)也表示非负数,即≥0.即:非负数的算术平方根是非负数.负数不存在算术平方根,即<0时,无意义.如: =4,5是25的算术平方根,无意义.
2.平方根
(1)平方根的概念:一般地,如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根 (或二次方根).就是说,如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.因为3和-3的平方都是9,所以3和-3都是9的平方根.
(2)平方根的性质:
正数有两个平方根,它们是互为相反数.记作:.
0的平方根是0,记作:.
负数没有平方根.
【精讲】算术平方根与平方根的区别与联系:
(1)区别
①定义不同:如果x2=a,那么x叫做a的平方根,正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.
②个数不同:正数有两个平方根, 而算术平方根只有一个.
③表示方法不同:正数的平方根表示为, 正数的算术平方根表示为.
④结果不同:正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负.
(2)联系
①具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的一个.
②存在条件相同:平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
③0的平方根、算术平方根均为0.
3.开平方
求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方.
【精讲】(1)开方与平方互为逆运算.(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
4.立方根
如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根) .用式子表示就是,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.因为2的立方为8,所以8的立方根为2.
5.开立方
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.一个数a的立方根用符号“”表示,读作“三次根号a,其中a是被开方数, 3是根指数.注意:根指数3不能省略.
【精讲1】(1)开立方与立方也是互为逆运算.(2)一个数的立方根是唯一的,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数. 0的立方根是0.(3)求一个数的立方根,我们可以通过立方运算来求.
【精讲2】(1)立方根不同于平方根,负数同正数一样都有一个立方根.(2)立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外,即=-.因此,求负数的立方根,可以转化为求其相反数的立方根.
【精讲3】平方根与立方根的联系与区别
(1)联系
①都与相应的乘方运算互为逆运算.开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算.
②平方根、立方根都是开方的结果.
③0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)区别:
(1)定义不同
如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根;
如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.
(2)写法不同
在用符号表示平方根时,根指数2可省略,而用符号表示立方根时,根指数3不能省略.
(3)个数不同
任何一个正数有两个平方根,0的平方根有一个是0,负数没有平方根;
任何一个数都有一个立方根.
(4)表示法不同
正数a的平方根表示为±,a的立方根表示为.
(5)被开方数的取值范围不同
±中的被开方数a是非负数;中的被开方数可以是任何数.
三、重难疑点·轻松破
1.求算术平方根和平方根
因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.一般的,.被开方数的小数点向右或向左每移动两位,算术平方根则相应地向右或向左移动一位.
例1. 求下列各数的平方根:
点评: 求一个数的平方根,也就是求一个非负数是什么数的平方.由于正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,可将它们概括成:非负数的算术平方根是非负数,即当≥0时,≥0(当<0时,无意义) ,用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为 (应是非负数) 的正方形的边长就表示的算术平方根.
变式1、计算:
2.求立方根
立方根是与平方根等同的两个概念,在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上,很容易学习,要注意:
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