讲平面与空间直线(课时共线共点问题).docVIP

第 40 讲 平面与空间直线-共线、共点问题 （第1-2课时） 平面与空间直线 重点：1．平面的性质；2．空间直线的位置关系的判断；3．异面直线的证明4. 两异面直线的夹角。 难点：1．平面的公理、推论及其应用；2．空间直线的位置关系的判断。 1．掌握平面的基本性质，能证明共线、共点、共面问题；2．能画出空间两条直线的各种位置关系的图形，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质；3．掌握两条直线所成的角和距离的概念，能求出已给出公垂线时的两异面直线的距离。 判断两直线的位置关系，异面直线所成的角。 1．平面 ⑴ 平面的概念 平面是不定义的几何元素，它可以向各方任意延伸。 ⑵ 平面的基本性质（三条公理及其推论） 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 该公理是判定直线在平面内的理论依据，即：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于过这个点的一条直线。 该公理是两个平面相交的性质，即两个平面相交，有且只有一条交线，两个平面的公共点必在它们的交线上。 公理3：不共线的三点确定一个平面。 公理3的三条推论如下： ① 推论1：直线和直线外一点确定一个平面； ② 推论2：两相交直线确定一个平面； ③ 推论3：两平行直线确定一个平面。 该公理及其推论是判断共面问题的理论依据。 说明：在证明过程中，这三条公理及其推论如果作为大前提，可不必明说。掌握确定平面的方法是很有用处的，有时我们需要判定空间图形的某一部分是否在一个平面内，如果在，那么我们就可以充分利用平面几何的知识来解决问题。 ⑶ 平面性质的应用 平面性质以及某些定理常用来证明共点、共线、共面、异面问题，大概有下面这些： ①公理1；②公理3；③公理3的推论1；④公理3的推论2；⑤公理3的推论3；⑥如果两个平面垂直，那么经过一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内（教材例题）；⑦过一点垂直于已知直线的所有直线，都在过这点而垂直于已知直线的平面内；⑧已知一条直线与一个平面平行，如果过这平面内的一点而与已知直线平行的直线一定在已知平面内（教材习题）；⑨平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线（教材例题）。 注意 尽量把空间问题转化成平面问题来做。这样做的好处是便于利用平面几何的定理以及我们熟悉的解题方法。 ⑷ 平面几何定理与立体几何定理的内在联系 序号 平面几何定理 → 立体几何定理 三线平行公理 可移植 三线平行公理 可类比 平行于同一平面的两平面平行。 两组对应边分别平行且方向相同的角相等。 可移植 两组对应边分别平行且方向相同的角相等。 两组对应边分别垂直的角相等或互补。 不可以 平行线分线段成比例 可类比 平行平面分线段成比例 两平行线间的距离处处相等。 可类比 两平行平面间的距离处处相等。 垂直于两平行线之一的直线垂直于另一直线。 可类比 垂直于两平行平面之一的直线垂直于另一平面。 垂直于同一直线的两直线平行。 不可移植 可类比 垂直于同一平面的两直线平行。 垂直于同一直线的两平面平行。 两平行线之一垂直于第三条直线，则另一直线也垂直于第三条直线。 可类比 两平行线之一垂直于平面，则另一直线也垂直于平面。 过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。 可移植 过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。 可类比 过平面外一点只能作一个平面与已知平面平行。 三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 可类比 三面角中，两个面角之和大于第三个面角，两个面角之差小于第三个面角。 多边形的外角和等于360°。 多面角的所有面角的和小于360°。 2．空间作图 ⑴ 空间作图公法 ① 如果确定一个平面的条件已知，则认为此平面可作。 ② 如果已知两个平面相交，则认为交线可作。 ③ 如果已知空间的一个平面，则认为可以在这个平面内完成平面几何中能完成的一切作图。 一个空间图形就是通过有限次使用上述三种基本作图而得到的。 例．过直线外一点，作直线∥。 作法：①过直线和作平面；②在内过作∥。 例．过两条已知异面直线、中的一条，作平面∥。 作法：①在上任取一点，过作直线∥；②过、作平面。 例. 画相交平面 第1步