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第四讲 数据分析方法 第一节、数据拟合 问题：给定一批数据点（输入变量与输出变量的数据），需确定满足特定要求的曲线或 曲面。如果输入变量和输出变量都只有一个，则属于一元函数的拟合和插值；而若输入变量 有多个，则为多元函数的拟合和插值（有点回归分析的意思） 解决方案： （1） 若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； （2） 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就 是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 注意：插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同， 二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时 容易确定，有时则并不明显。 例 1：下面数据是某次实验所得，希望得到 X和 f之间的关系？ x f 1 2 4 7 9 12 13 15 17 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 曲线拟合问题最常用的解法——最小二乘法的基本思路 第一步：确定拟合的函数类型 y = f (x;a1,a2,,am )，其中a1,a2,,am为待定系数。 （函数类型的确定可以根据内在的规律确定，如果无现成的规则，则可以通过散点图，联系 曲线的形状进行分析） 第二步：确定a1,a2,,am的最小二乘准则：要求n个已知点(xi, yi )与曲线 y = f (x) n ∑ 的距离di的平方和 (yi ? f x 2 最小 。 ( )) i i=1 用 MATLAB作拟合 1．多项式拟合。作多项式 y = a0x m +a1x m?1 ++ am拟合，可利用 a=polyfit(x,y,m)—其中 x,y为给出的数据，m为多项式的次数。 多项式在 x处的值 y可用以下命令计算： y=polyval（a,x） 2．用 MATLAB作非线性最小二乘拟合 Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和 lsqnonlin。两个命令 都要先建立 M-文件 fun.m，在其中定义函数 f(x)。 （1）x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); （2）x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options); （3）x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’); （4）[x, options] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); （5）[x, options,funval] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); 1  （6）[x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…); （7）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）； （8）x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）； （9）x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options，‘grad’）； （10）[x，options]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）； （11）[x，options，funval]= lsqnonlin （‘fun’，x0，…）； 在使用 lsqcurvefit与 lsqnonlin命令时，共同的问题是要先知道函数的类型，而拟合其实是决 定函数中的待定系数。 第二节 插值 插值的基本问题：给出n个数对，(Pi, f (Pi)),i =1,2,,n，求点 P处对应的函数值 f (P)。 一、一维插值 已知 n +1个节点 (xi, yi ),i = 0,1,,n，求任意点 *处的函数值 *。常用的插值方法 x y 有拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。 9 分段线性插值：将各数据点用折线连接起来 9 多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假设出多项式的系数，最后通过 求解方程得到每个系数（拉格朗日插值，用n次多项式描述 n +1个点） 9 样条插值：分段多项式的光滑连接（三次样条插值） 9 牛顿插值：利用节点之间的各阶差商和差分构造多项式 9 Hermite插值：对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有 相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值 （1）MATLAB命令：y=interp1(x0,y0,x,method) method指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为： neare