讲曲线弧长计算.docVIP

第27讲 平面曲线的弧和体积 教学内容 1. 平面曲线的弧长；2. 平面曲线的曲率；3. 平行截面面积已知的体积. 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能较好掌握平面曲线的弧长计算公式和平面曲线的曲率计算公式，了解平行截面面积已知的体积的计算方法． 教学重点及难点 教学重点：平面曲线的弧长体积 教学方法及教材处理提示 (1)平面曲线的弧长计算和曲线的曲率问题都采用问题式教学法进行讲授，老师先给出问题及解决问题的思路，要求学生按照定积分元素法，推导出平面曲线的弧长计算公式和曲线的曲率计算公式. (2)定积分在物理中的应用（水压力、变力作功）和定积分的近似计算作为习题课内容. 作业布置 作业内容：教材 :1（1，3，6），2（2，4）; :5，6. 讲授内容 一、平面曲线的弧长 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。 设平面曲线由参数方程为： ， 设是的一个划分，即，它们在曲线上所对应的点为，，…，。从端点开始用线段一次连接这些分点，，…，得到曲线的一条内接折线，用来表示的长度，则内接折线总长度为 曲线C的弧长S定义为内接折线的总长在时的极限： 如果S存在且为有限，则称为可求长曲线。 1.参数方程情形 曲线弧为 ，其中在上具有连续导数. 弧长 例1 求星形线的全长. 解：星形线的参数方程为 根据对称性（第一象限部分的弧长4倍）， 2.直角坐标情形 弧长 例2 计算曲线上相应于从到的一段弧的长度. 解： 所求弧长为 3.极坐标情形 曲线弧为 ，其中在上具有连续导数. ， 弧长 例3 求阿基米德螺线 上相应于从到的弧长. 解： 例4 求抛物线，的弧长S. 解： 例5 求心形线的全长. 解： 二、曲率及其计算公式，就得到曲线由端点到动点的弧长，即 因此有，或?， 注：当曲线，于是弧微分. 2.曲率曲线C在点M处的曲率 注意：(1) 直线的曲率处处为零；(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 3..曲率的计算公式 于是 则 例6 解： 显然 二、平行截面面积已知的体积和这两个平行平面之间，用垂直于轴的平面去截此几何体，设载面与X轴交点为，可得的截面面积为S（），如果S()是上的可积函数，则该几何体的体积等于：. 例7 求由两个圆柱面，所围成的立体的体积. 例8 求由椭球面所围的几何体体积. 《数学分析I》第27讲教案 1