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讲次曲线
数学高考综合能力题选讲17
二次曲线
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
高考试题中,解析几何试题的分值一般占20%左右,而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用;以圆锥曲线为载体的解答题设计中,重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论,它们是热中之热.解答题的题型设计主要有三类:
(1)求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹;
(2)圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定;
(3)涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题.
近年来,高考中解析几何综合题的难度有所下降.随着高考的逐步完善,结合上述考题特点分析,预测今后高考的命题趋势是:将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查,加强对于分析和解决问题能力的考查.因此,教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用.
范例选讲
例1. 中,已知,且内角满足.
(1)建立适当的坐标系,求顶点A的轨迹方程;
(2)若直线通过点B,且与顶点A的轨迹交于M、N两点,求的最小值.
讲解 (1)如图:取CB所在直线为x轴,CB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
∵
由正弦定理可得:(定值)
根据椭圆的定义可知:顶点A的轨迹是以C、B为焦点的椭圆,方程为:
.
(2)解法一.由于M,N的变化是由直线l的运动引起的,所以,可以设法将表达成关于直线的斜率k的函数.
设过点B的直线的方程为:,点M、N的坐标分别为:.
则由消去,得.
显然,求出点M,N的坐标是不可取的.但很容易得到下面的式子:
.
能否用来表示?这就涉及到椭圆的第二定义.
由(1)可知:椭圆的左准线为:.所以,根据定义有:
所以,
所以,当时,取得最小值,为6.
解法二.从另一个角度来思考这个问题,由于直线的标准参数方程中,的几何意义就是从定点出发的有向线段的数量,所以,我们可以考虑将转化为,同时利用直线的参数方程来解决问题.
设过点B的直线的方程为:(其中为参数,为直线的倾斜角),代入椭圆方程,得:
.
所以,.
所以,.
根据椭圆定义:,.所以,
所以,当且仅当,即直线方程为时,取得最小值,为6.
点评:恰当运用定义是进行问题转化的重要手段.
例2.已知双曲线的左右两焦点分别为,点M是双曲线右支上不重合于顶点的一点,设,若.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如果动点的坐标为,且有最小值15,求双曲线的方程.
讲解:(1)如果对三角公式较为熟悉,不难发现,实际上
.
所以,要求双曲线的离心率,只需考虑如何用来表达即可.
设双曲线的实轴长为,焦距为,点P为的内心,过P作PN垂直于点N,则
,
又
所以,=
所以,.
(2)
∴的坐标适合方程,
又∵
(等号当且仅当时取得).
∴ ,
双曲线的方程为:.
点评:(1)中,直接利用正、余弦定理也可得出结论.
高考真题
1.(1993年全国高考题)在面积为1的△PMN 中,tanM = ,tanN = -2.建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
2.(1998年全国高考)如图, 直线L1和L2相交于点M,L1(L2, 点N (L1.以A、B为端点的曲线C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若(AMN为锐角三角形,|AM|= ,|AN| = 3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
3.(2000全国理22)如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围.
[答案与提示:1.; 2.; 3..]
P
B
M N
N
C O
Y
A
B x
M
L1
M N
L2
A
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