讲直线与圆锥曲线的位置关系.docVIP

第71讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【考点解读】 1.学会用坐标法探究直线与圆锥曲线的位置关系 2.进一步体会曲线方程的解与曲线上的点的坐标之间的关系，培养方程思想； 3.能解决直线与圆锥曲线位置关系有关的综合问题 【知识扫描】 1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系 2．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 则弦长公式为： d====。 焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。 4.点差法 当直线与曲线相交于两点，直线的斜率为，弦AB的中点为，在椭圆中有，在双曲线中有，在抛物线中有 【考计点拨】 1.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，则k的取值范围是 . 【答案】 2．以点为中点的抛物线的弦所在的直线方程为 （ ） 【答案】C 3.若a≠b且ab≠0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( ) 【答案】C 4.过原点的直线l:y=kx与双曲线C: =1有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【答案】 5.椭圆与直线相交于两点，为的中点，若为坐标原点，斜率为，则的值分别为_____________. 【答案】 典例分析 考点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 【例1】（1）若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值 【解析】联立方程组，分和讨论，得 变式：⑴无论k为何值，直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆 =1都有公共点，则m的取值范围是 . 【答案】 （2）求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点. 【解析】①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则， 令解得k = ,∴ 所求直线为 综上，满足条件的直线为： 【答案】 规律小结：注意判别式的应用，特别注意二次项系数的讨论 变式训练1：已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围. 【解析】原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为. 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错. 考点二、直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 例2．如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为． （I）求在，的条件下，的最大值； （II）当，时，求直线的方程． 【解析】：设点的坐标为，点的坐标为． 由，解得， ，当且仅当时，取到最大值1． （Ⅱ）解：由，得， ＝＝＋1，　　 　　　　　　　　　　　　① ｜AB｜＝＝＝2　　② 设到的距离为，则，又因为， 所以，代入②式并整理，得， 解得，，，代入①式检验，． 故直线的方程是，或， 或，或． 规律小结:求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：｜AB｜＝＝来求解。 【变式训练2】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程. 【解析】：设所求椭圆的方程为=1. 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组： 　　 　　将②代入①，整理得 　　 ， ③ 设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为 P(,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得 　　 　　整理得 　　解这个方程组，得 或 　　根据根与系数的关系，由③式得 　　 (1) 或 (2) 　　解方程组(1)、(2)得　 或 故所求椭圆方程为　=1 ， 或 =1