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讲空间中的垂直关系
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高三新数学第一轮复习教案(讲座11)—空间中的垂直关系
一.课标要求:
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
◆ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明:
◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二.命题走向
近年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,常常立足于棱柱、棱锥和正方体,复习是要以多面体为依托,始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主,在新课标教材中将立体几何要求进行了降低,重点在对图形及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,示知识深化和拓展的重点,因而在这部分知识点上命题,将是重中之重。
预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系:
(1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题;
(2)在考题上的特点为:热点问题为平面的基本性质,考察线线、线面和面面关系的论证,此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
(3)解答题多采用一题多问的方式,这样既降低了起点又分散了难点。
三.要点精讲
1.线线垂直
判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条。
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式: 。
注意:⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直α内的直线a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置,并注意两定理交替使用。
2.线面垂直
定义:如果一条直线l和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作:l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3.面面垂直
两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直面面垂直)
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理:(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
四.典例解析
题型1:线线垂直问题
例1.如图1所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1,A1B1,BC,CD,DA,DE,CL的中点,求证:EF⊥GF。
证明:如图2,作GQ⊥B1C1于Q,连接FQ,则GQ⊥平面A1B1C1D1,且Q为B1C1的中点。
在正方形A1B1C1D1中,由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ,由三垂线定理得EF⊥GF。
点评:以垂直为背景,加强空间想象能力的考查,体现了立体几何从考查、论证思想。
例2.(2006全国Ⅱ,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点,证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。
证明:设O为AC中点,连接EO,BO,则EOC1C,又C1CB1B,所以EODB,EOBD为平行四边形,ED∥OB。
∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO(面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,
∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1,
∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。
点评:该题考点多,具有一定深度,但入手不难,逐渐加深,逻辑推理增强。
题型2:线面垂直问题
例3.(1)(2006北京文,17)如图,ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,求证:BD⊥平面ACC1A1。
(2)(2006天津文,19)如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱。
(I)证明平面;
(II)设证明平面。
证明:(1)∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,
∴CC1⊥平面ADCD,
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
又∵AC
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