讲立体几何(生).docVIP

第1讲　空间向量及其运算 知 识 梳 理 1．空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模． 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)． ②交换律：a·b＝b·a. ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 a，b(a≠0，b≠0) cosa，b＝ 考点一　空间向量的线性运算 【例1】 如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．  【训练1】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示. 第2讲　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 知 识 梳 理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m. α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0 考点一　利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 【训练1】 (2013·浙江卷选编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD. 考点二　利用空间向量证明垂直问题 【例2】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 【训练2】 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 考点三　利用空间向量解决探索性问题 【例3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． 规律方法 立体几何开放性问题求解方法有以下两种： (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论； (2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解． 【训练3】 如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PA