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讲立体几何(生)
第1讲 空间向量及其运算
知 识 梳 理
1.空间向量
在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的长度或模.
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb.
(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面?存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.
3.两个向量的数量积
(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cosa,b.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=λ(a·b). ②交换律:a·b=b·a. ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 垂直 a·b=0
(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角 a,b(a≠0,b≠0) cosa,b=
考点一 空间向量的线性运算
【例1】 如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA、BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________________.
【训练1】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.设E是棱DD1上的点,且=,试用,,表示.
第2讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
知 识 梳 理
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2. l1∥l2 n1∥n2?n1=λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n=0 l⊥α n∥m?n=λm 平面α,β的法向量分别为n,m. α∥β n∥m?n=λm α⊥β n⊥m?n·m=0
考点一 利用空间向量证明平行问题
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
【训练1】 (2013·浙江卷选编)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
证明:PQ∥平面BCD.
考点二 利用空间向量证明垂直问题
【例2】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
【训练2】 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
考点三 利用空间向量解决探索性问题
【例3】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
规律方法 立体几何开放性问题求解方法有以下两种:
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后再加以证明,得出结论;
(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判定关于z0的方程是否有解.
【训练3】 如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PA
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