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讲立体几何空间直线和平面
第7讲 立体几何 空间直线和平面
【知识网络】
【复习指南】
1立体几何不外乎两大问题,一类是空间位置关系的论证,这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证,位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等;另一类问题是空间量(空间角、距离、体积、侧面积)的计算,如线面角、二面角的求解.
2立体几何在高考中,选择题、填空题一般出中等难度的题,解答题中可能会有难题.
3归纳总结,理线串点,从知识上可分为:(1)平面的基本性质;(2)两个特殊的位置关系,即线线、线面、面面的平行与垂直;(3)三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题,总结出解题方法,对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解,还要注意把空间向量贯彻、渗透其中,通过一题多解,使学生把所学知识真正学活、会用.
4抓主线攻重点,可以针对一些重点内容进行训练,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化,并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量的求解.
5复习中要加强数学思想方法的总结与提炼,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决,又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决,又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算,这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事半功倍的效果.
一 空间直线和平面
【考点阐述】
平面及其基本性质.平面图形直观图的画法.平行直线.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理.两个平面的位置关系.
【考试要求】
(1)理解平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图:能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系.
(2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念,掌握直线和平面垂直的判定定理;掌握三垂线定理及其逆定理.
【真题演练】
1.(安徽卷理4文3)已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
【解析】 均为直线,其中平行,可以相交也可以异面,故A不正确;
m,n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行;选D.
2.(海南宁夏卷文12)已知平面α⊥平面β,α∩β= l,点A∈α,Al,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β
【解析】:容易判断A、B、C三个答案都是正确的,对于D,虽然,但AC不一定在平面内,故它可以与平面相交、平行,故不一定垂直;
【答案】:D
【考点】线面平行、线面垂直的有关知识及应用
【易错点】:对有关定理理解不到位而出错.
【提示】:线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点,要重点掌握.
3.(湖南卷理5)设有直线m、n和平面、.下列四个命题中,正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若,m,则m D.若,m,m,则m∥
【答案】D
【解析】由立几知识,易知D正确.
4.(湖南卷文5)已知直线m,n和平面满足,则( )
或 或
【答案】D
【解析】易知D正确.
5.(江西卷文9)设直线与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是
A.在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B.过直线有且只有一个平面与平面垂直
C.与直线垂直的直线不可能与平面平行
D.与直线平行的平面不可能与平面垂直
答案:易知正确.
6.(辽宁卷理11文12)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
【答案】D
【解析】本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题,考查学生的空间想象能力.在EF上任意取一点M,直线与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图:
7.(四川卷理9文10)设直线平面,过平面外一点与都成角的直线有且只有:( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
【解析】如图,和成角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直
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