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讲高阶导数与参变量函数导数
第11讲 高阶导数参变量函数的导数高阶导数参变量函数的导数 教学内容 1. 参变量函数的导数的求导法则;2. 高阶导数概念及计算; 3. 求高阶导数的莱布尼茨公式. 教学目的和要求 通过本次课的教学,使学生能熟练掌握参变量函数的求导法则;掌握高阶导数的定义,能够计算某些函数的高阶导数,掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式,高阶导数的莱布尼茨公式. 教学重点及难点 教学重点:高阶导数的概念参变量函数的二阶导数高阶导数的莱布尼茨公式 教学方法及教材处理提示 (1) 通过足量习题使学生理解和掌握参变量函数的求导法则.
(2) 本讲的重点是高阶导数的概念和计算,要求学生熟练掌握。可采用老师一边讲学生一边练习的授课方法.
(3) 此讲的难点是高阶导数的莱布尼茨公式,特别是参变量函数的二阶导数.要强调对参变量求导与对自变量求导的区别,可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数. 作业布置 作业内容:教材 :2,3(3,4)5(3,4),6,9. 讲授内容
一、参变量函数的导数
平面曲线C一般的表达形式是参变量方程 ( )
表示,设对应曲线上的点,如果在点有切线,那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得,为此设在点可导,且.若对应上的点 (图5—5),割线的斜率 .于是曲线在点的切线斜率是.其中为切线与轴正向的夹角.
若具有反函数,那么它与构成一个复合函数
这时只要函数可导, (因而当时,也有和),就可由复合函数和反函数的求导法则得到
例1 试求由上半椭圆的参量方程 所确定的函数的导数.
解:按公式(2)求得
二、高阶导数
设物体的运动方程为,则物体的运动速度为,而速度在时刻的变化率
就是运动物体在时刻的加速度.因此,加速度是速度函数的导数,也就是路程的导函数的导数,这就产生了高阶导数的概念.
定义1 若函数的导函数在点可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,即.
若在区间上每一点都二阶可导,则得到一个定义在上的二阶导函数,记作.
一般地,可由的阶导函数定义的阶导函数(或简称阶导数),二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数,函数在点处的阶导数记作
相应地,.这里亦写作为它是对相继进行次求导运算“”的结果.
例1 求幂函数 (为正整数)的各阶导数
解:由幂函数的求导公式得,
,
例2 求和的各阶导数.
解:对于,由三角函数的求导公式得.
为了得到一般阶导数公式,可将上述导数改写为
一般地,可推得 类似地有
例3 求的各阶导数.
解:因为,所以
一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数.容易看出:
对于乘法求导法则较为复杂一些.设,则
如此下去,读者不难看到,计算结果与二项式展开式极为相似,用数学归纳法,可得
其中.这个公式称为莱布尼茨公式.
例4 设,求.
解:令,. ,
应用莱布尼茨公式()得: ?.
例5 研究函数的高阶导数.
解:当时,;
当时,
当时,由左右导数定义不难求得而当时,不存在,整理后得
当时不存在.
设在上都是二阶可导,则由参量方程所确定的函数的一阶导数,它的参量方程是.因此得
例6 试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数.
解:由公式得.
.
《数学分析I》第11讲教案
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