讲高阶导数与参变量函数导数.docVIP

第11讲 高阶导数参变量函数的导数高阶导数参变量函数的导数 教学内容 1. 参变量函数的导数的求导法则；2. 高阶导数概念及计算； 3. 求高阶导数的莱布尼茨公式． 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能熟练掌握参变量函数的求导法则；掌握高阶导数的定义，能够计算某些函数的高阶导数，掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式，高阶导数的莱布尼茨公式. 教学重点及难点 教学重点：高阶导数的概念参变量函数的二阶导数高阶导数的莱布尼茨公式 教学方法及教材处理提示 (1) 通过足量习题使学生理解和掌握参变量函数的求导法则． (2) 本讲的重点是高阶导数的概念和计算，要求学生熟练掌握。可采用老师一边讲学生一边练习的授课方法． (3) 此讲的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别，可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数. 作业布置 作业内容：教材 :2，3（3,4）5(3,4),6,9. 讲授内容 一、参变量函数的导数 平面曲线C一般的表达形式是参变量方程 （ ） 表示，设对应曲线上的点，如果在点有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设在点可导，且．若对应上的点 (图5—5)，割线的斜率 .于是曲线在点的切线斜率是.其中为切线与轴正向的夹角． 若具有反函数，那么它与构成一个复合函数 这时只要函数可导， (因而当时，也有和)，就可由复合函数和反函数的求导法则得到 例1 试求由上半椭圆的参量方程 所确定的函数的导数． 解：按公式(2)求得 二、高阶导数 设物体的运动方程为，则物体的运动速度为，而速度在时刻的变化率 就是运动物体在时刻的加速度．因此，加速度是速度函数的导数，也就是路程的导函数的导数，这就产生了高阶导数的概念． 定义1 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即. 若在区间上每一点都二阶可导，则得到一个定义在上的二阶导函数，记作． 一般地，可由的阶导函数定义的阶导函数(或简称阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数在点处的阶导数记作 相应地，.这里亦写作为它是对相继进行次求导运算“”的结果． 例1 求幂函数 (为正整数)的各阶导数 解：由幂函数的求导公式得， , 例2 求和的各阶导数． 解：对于，由三角函数的求导公式得． 为了得到一般阶导数公式，可将上述导数改写为 一般地，可推得 类似地有 例3 求的各阶导数． 解：因为，所以 一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数．容易看出： 对于乘法求导法则较为复杂一些．设，则 如此下去，读者不难看到，计算结果与二项式展开式极为相似，用数学归纳法，可得 其中．这个公式称为莱布尼茨公式． 例4 设，求． 解：令，． ， 应用莱布尼茨公式()得： ?. 例5 研究函数的高阶导数． 解：当时，； 当时， 当时，由左右导数定义不难求得而当时,不存在，整理后得 当时不存在. 设在上都是二阶可导,则由参量方程所确定的函数的一阶导数,它的参量方程是.因此得 例6 试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数． 解：由公式得. . 《数学分析I》第11讲教案 4