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讲:数学思想方法之归纳思想探讨
【备战2013高考数学专题讲座】
第4讲:数学思想方法之归纳思想探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。
数学中的所谓归纳,是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。归纳规律题是指在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般(再到特殊)”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问题能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力。
结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面五方面探讨归纳规律性问题的解法:(1)根据数(式)的排列或运算规律归纳;(2)根据图形的排列或运算规律归纳;(3)根据寻找的循环规律归纳;(4)根据一、二阶递推规律归纳;(5)数学归纳法的应用。
一、根据数(式)的排列或运算规律归纳:
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年江西省理5分)观察下列各式:则【 】
A.28 B.76 C.123 D.199
【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,…,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,故。故选C。
例2. (2012年陕西省理5分) 观察下列不等式【版权归锦元数学工作室,不得转载】
,
……
照此规律,第五个不等式为 ▲ .
【答案】。
【考点】归纳规律。
【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方;右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n个不等式,即可得到通式:。
令n=5,即可得出第五个不等式,即。
例3. (2012年湖北省理5分)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22,,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个:11,22,33…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999。则
(Ⅰ)4位回文数有 ▲ 个;
(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有 ▲ 个。
【答案】(Ⅰ)90;(Ⅱ)。
【考点】计数原理的应用。
【解析】(I)4位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,有10种选法,故4位回文数有9×10=90个。
(II)第一步,选左边第一个数字,有9种选法;第二步,分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字,共有10×10×10×…×10=10n种选法,故2n+1(n∈N+)位回文数有个。
例4.(2012年福建省理13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(I)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(II)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【答案】解:(I)选择(2)式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=。
(II)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=。证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=。
【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。
【解析】(I)选择(2)式,应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。
(II)三角恒等式为sin2α
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