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论高等数学中的反例 摘要 高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，而重视和恰当的使用反例可以有效的帮助学生学习高等数学。因此，本文主要对高等数学中的反例进行了一定程度的探究，论述了反例的来源和构造，围绕高等数学中一些典型的反例进行分析，详细说明了反例在高等数学学习中的重要作用及应用，为学生学习高等数学提供了一种辅助方法。 关键词 高等数学，数学研究，反例. Abstract The higher maths is an important curriculum of training students’abstract including capability、logic ideation capability、operation capability and space fancy capability ,moreover it is attaching important to and using contrary cases that can effectively help students study higher mathematics.Hence ,This paper holds an exploration on opposite case by focusing on the functions and application of constructing contrary cases in higher maths studying. it is claimed that constructing contrary cases is an effective aid to higher mathematics studying. KeyWords higher mathematics, mathematics research, contrary cases 0 前言 “以例外证明规律”，这是一句人所共知的格言。通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题。否定这类命题最常用、而且最好的方法就是举出一个和它不一致的对象，这种对象通常称之为反例。 数学中的反例通常是指符合某个命题的条件，但又与该命题结论相矛盾的例子，也即指出某命题不成立的例子。在数学的发展史中，反例和证明有着同等重要的地位。一个正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定。 最简单而最优秀的反例莫过于欧拉发表的世界上最短的一篇数学论文： 它推翻了独步数坛百余年的费马猜想：“n为非负整数时，一切形如 的数是素数。” 而我们知道，高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，也是学生进入大学后第一门重要的基础课，在大学学习中占有及其重要的地位。但是由于其内容的高度抽象与概括性，严密的逻辑性，独特的“公式语言”，简练的表达方式，高等数学常常成为大学生入学学习的第一个难关。 如何帮助学生度过这一难关，学好高等数学？首要问题是帮助，促使学生掌握好基本概念和基本性质。解决这一问题的有效方式之一，是重视和恰当的使用反例。 因此，在高等数学的学习中，反例有着极为重要的意义，举反例的方法在大学数学学习中应经常为同学们所用，它会使同学们对概念、定理、公式的理解更全面、透彻，它在发现和认识数学真理，强化数学基础的理解和掌握，以及培养学生的思维能力和创造能力等方面的意义和作用是不可低估的。 1 本论 下面就从反例的来源与构造，反例在高等数学学习中的作用两个方面进行分析。 1．1反例的来源与构造 对于数学学科，证明一个猜想是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个猜想是假的，只须找到猜想命题的反例。在数学学习中，出现了这样一种现象，教师为了说明一个命题为假命题，举出一个反例，说明反例虽然满足命题的条件，却无命题的结论，但反例怎样得到呢？教师很少分析甚至不做分析。学生感到老师确实高明，从肚子里能掏出一个一个非常具有说服力的反例，就象舞台上的魔术师，能从帽子里掏出一个又一个白鸽，虽然非常精彩，却是观众学不会的。 与获得证明的方法一样，反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动，其方法包括：观察与实验、归纳、分析与综合、概括与抽象等，反例决不能凭空得到。 1.1.1从定义入手获得反例 概念是数学学科的细胞，是反映事物本质的思维形式。在逻辑学中，定义是明确概念内涵的逻辑方法。在数学问题中，若首先给出一个概念的定义，然后判断一个猜想是否正确，则反例的获得常常需要从定义入手。 例1 [2002年上海市高考（理工农医）数学试卷第22题第（2）小题] 规定，其中是正整数，且，这是组合数的一种推广。组合数的性质：的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，说明理