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说课教案讲变化率与导数导数的运算
第三章 导数及其应用
【知识图解】
【方法点拨】
导数的应用极其广泛,是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具,也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时,导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容,体现了高等数学思想及方法。
1.重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义,对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发,如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具,应深刻理解并灵活运用。
2.深刻理解导数概念。概念是根本,是所有性质的基础,有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时,要注意“函数在点处的导数”与“函数在开区间内的导数”之间的区别与联系。
3.强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质,如函数的单调性、极值与最值等,提供了一般性的方法。
4.重视“数形结合”的渗透,强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中,在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时,应从数值、图象等多个方面,尤其是几何直观加以理解,增强数形结合的思维意识。
5.加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具,在解决科技、经济、生产和生活中的问题,尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6.(理科用)理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题(主要是几何和物理问题)的有力工具,如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等,逐步体验微积分基本定理。
第1课 导数的概念及运算
【考点导读】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率2.函数y=f(x)在x=x0处的导数数y=f(x)在x=x0处的导数若f(x)=c,则f′(x)=0;
若f(x)=xα(αR),则f′(x)=αxα-1;
若f(x)=sin x,则f′(x)=cos x;
若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x;
若f(x)=ax(a0,且a≠1),则f′(x)=axln_a;
若f(x)=ex,则f′(x)=ex;
若f(x)=logax(a0,且a≠1),则f′(x)=;
若f(x)=ln x,则f′(x)=.
导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′= (g(x)≠0).
复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.
【例1】利用导数的定义求函数f(x)=x3在x=x0处的导数,并求曲线f(x)=x3在x=x0处切线与曲线f(x)=x3的交点.
[审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键.
利用定义求导数的一般过程是:(1)求函数的增量Δy;(2)求平均变化率;(3)求极限li .考二 导数的运算
【例2】求下列各函数的导数:
(1)y=;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=sin;
(4)y=+;
[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导.
(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础.
(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导.
考三 求复合函数的导数
【例3】求下列复合函数的导数.
(1)y=(2x-3)5;(2)y=;
(3)y=sin2;(4)y=ln(2x+5).
[审题视点] 正确分解函数的复合层次,逐层求导.
由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.
两种法则
(1)导数的四则运算法则.
(2)复合函数的求导法则.
三个防范
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.
4
瞬时速度
平均变化率
瞬时变化率
割线斜率
切线斜率
导 数
基本初等函数导数公式、导数运算法则
微积分基本定理
导数和函数单调性的关系导数与极(最)值的关系
定积分(理科)
曲边梯形的面积
定积分在几何、物理中的简单应用
变速直线运动的路程
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