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第19课时　双曲线习题课 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知顶点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝3 B．|PF1|＋|PF2|＝6 C．||PF1|－|PF2||＝4 D．||PF1|－|PF2||＝3 解析：A为双曲线的一支；B为椭圆；C为两条射线． 答案：D 2．在双曲线标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 解析：因没有说明焦点所在的坐标轴，故焦点分在x轴、y轴上两种情况． 答案：D 3．双曲线－＝1上的点P到点(5,0)的距离是15，则点P到点(－5,0)的距离是(　　) A．7 B．23 C．5或23 D．7或23 解析：就点P在双曲线的左支和右支解方程|PF|－15＝±8，可得|PF|＝7或|PF|＝23. 答案：D 4．已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，代入＋＝1(ab0)可得x2＝，则S＝4x2＝16，所以a2b2＝4(a2＋b2)　①.又由e＝＝＝可得a＝2b.代入①式得b4＝5b2，于是b2＝5，a2＝20.所以椭圆方程为＋＝1，答案应选D. 答案：D 5．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　) A. B. C. D. 解析：设||＝m，||＝n，由 得m·n＝4.由S△F1MF2＝m·n＝|F1F2|·d(d为点M到x轴的距离)，解得d＝. 答案：B 6．已知双曲线－＝1(a0，b0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，)∪(，＋∞) C．(，＋∞) D．[，＋∞) 解析：直线y＝2x必过原点，要使直线与双曲线有交点，则双曲线渐近线的斜率|k|2，即2，4，解得e2＝5，所以e. 答案：C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2坐标分别为(3，－4)，，则双曲线的标准方程为________． 解析：∵双曲线的焦点在y轴上，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a0，b0)．∵点P1，P2在双曲线上，∴点P1，P2的坐标适合方程．将点(3，－4)，的坐标分别代入方程中，得方程组将和看作整体，解得∴ ∴双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 8．设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________. 解析：由得又PF1垂直于x轴，所以a＝c，则e＝. 答案： 9．过双曲线－＝1(a0，b0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________． 解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为线段PF的中点，坐标原点O为线段FF′的中点，所以EO∥PF′.又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a.根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝. 答案： 三、解答题(本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 10．(15分)(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程； (2)已知双曲线－＝1(a0，b0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程． 解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． ∵M(3，－2)在双曲线上， ∴－＝λ，∴即λ＝－2. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)∵e＝，∴＝，∴＝， ∴a2＝3b2.① 又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， ∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．② 解①②组成的方程组得a2＝3，b2＝1， ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. 11．(15分)已知双曲线x2－＝1，问：过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：假设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 ①－②得 (x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③ ∵A(1,1)为线段PQ的中点，∴ 将④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)．⑥ P，Q是不同的两点，故x1≠x2， 则直线l的斜率k＝＝2