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课 题：平面向量的数量积及运算律 数学组 王海军 2005 4月12 教学目的： 1掌握平面向量数量积运算规律； 2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析? 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质? 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos(叫与的数量积，记作(，即有( = ||||cos(， （０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 3．“投影”的概念：作图 定义：||cos(叫做向量在方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 ||；当( = 180(时投影为 (|| 4．向量的数量积的几何意义： 数量积(等于的长度与在方向上投影||cos(的乘积 5．两个向量的数量积的性质： 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1(( = (=||cos(；2(( ( ( = 0 3(当与同向时，( = ||||；当与反向时，( = (|||| 特别的( = ||2或 4(cos( = ；5(|(| ≤ |||| 6．判断下列各题正确与否： 1(若 = ，则对任一向量，有( = 0 ( √ ) 2(若 ( ，则对任一非零向量，有( ( 0 ( × ) 3(若 ( ，( = 0，则 = ( × ) 4(若( = 0，则 、至少有一个为零 ( × ) 5(若 ( ，( = (，则 = ( × ) 6(若( = (，则 = 当且仅当 ( 时成立 ( × ) 7(对任意向量、、，有(()( ( ((() ( × ) 8(对任意向量，有2 = ||2 ( √ ) 二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律： ( = ( 证：设，夹角为(，则 ( = ||||cos(， ( = ||||cos( ∴ ( = ( 2．数乘结合律：()( =(() = (() 证：若 0，()( =||||cos(， (() =||||cos(，(() =||||cos(， 若 0，()( =||||cos(((() = (||||((cos() =||||cos(， (() =||||cos(， (() =||||cos(((() = (||||((cos() =||||cos( 3．分配律：( + )( = (c + ( 在平面内取一点O，作= , = ，=， ∵ + （即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和， 即 | + | cos( = || cos(1 + || cos(2 ∴| | | + | cos( =|| || cos(1 + || || cos(2 ∴(( + ) = ( + ( 即：( + )(= ( + ( 说明：（1）一般地，(·)≠（·） （2）·＝·，≠＝ （3）有如下常用性质：２＝｜｜２， （＋）（＋）＝·＋·＋·＋· (＋)２＝２＋２·＋２ 三、讲解范例： 例1 已知、都是非零向量，且 + 3与7 ( 5垂直， ( 4与7 ( 2垂直，求与的夹角 解：由( + 3)(7 ( 5) = 0 ( 72 + 16( (152 = 0 ① ( ( 4)(7 ( 2) = 0 ( 72 ( 30( + 82 = 0 ② 两式相减：2( = 2 代入①或②得：2 = 2 设、的夹角为(，则cos( = ∴( = 60( 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解：如图：ABCD中，，，= ∴||2= 而= ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由