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谈等分圆周的数学原理
谈五等分圆周的数学原理
摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。
在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）：
1、作圆O
2、作直径MN
3、过O作MN的垂线AO交圆O于A
4、作OM的中点P
5、以P为圆心，PA长为半径作圆弧交直径ＭＮ于Ｑ
6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ长为半径作圆弧，交圆O于C，D。
7、边结ABCDE，多边形ABCDE是正五边形
人们不禁要问：这种作法精确吗？是近似作法？还是精确作法？其数学原理是什么？
设图O的半径为1，根据以上作法，则OP=，PQ=PA=，QO=PQ=，所以AQ==
另外，如图2圆O的半径为1，ABCDE为圆O的内接正五边形，S是AB的中点，则，，故边长。
如果我们能够证明则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。
下面我们推导，
因为
，
所以
。
由倍角公式，有，
即是下述三次方程
的根。因式分解得
故方程
有下述三个根：
，由于舍去，故方程的唯一正根是，
所以，
进而，
由于根据作法
，
而已证，
所以图1中的是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE是正五边形，此种作法是精确作法。
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