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矢量代数 基本概念 代数表示： 矢量大小： 常矢量：大小和方向均不变的矢量。（单位矢量不一定是常矢量。） 单位矢量： 坐标分量表示： 矢量运算 点积： 叉积：若A，B垂直，积为AB；若A//B，积为0 三大坐标系 直角坐标系 直角坐标系与圆柱坐标系： 圆柱坐标系 圆柱坐标系与球坐标系： 球坐标系 球坐标系与直角坐标系： 标量场 等值面： 意义：描述了物理量在空间的分布状态。 特点：1. 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 2. 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 3. 标量场的等值面互不相交。 方向导数： 意义：场沿某方向的空间变化率（变化规律）。 特点：既与点M0有关，也与所引射线方向有关。 梯度： 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。 特点：1. 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 矢量场 矢量线： 概念：矢量线上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。 散度 特点：矢量线为发散的曲线。 通量： 意义：定量描述矢量场的大小； 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。 散度： 意义：散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。 散度定理： 意义：面积分和体积分之间的变换。 旋度 特点：矢量线为闭合的曲线。 环流： 特点：1. 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。 2. 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。 环流面密度：相当于标量场中的方向导数。 特点：其值与点M 处的法线方向有关。 旋度： 性质： 意义：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。物理意义是旋涡源密度矢量。 斯托克斯定理： 意义：线积分与面积分之间的变换。 无散场和无旋场 散度源：标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度； 旋度源：矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。 无旋场：仅有散度源而无旋度源的矢量场。梯度表示： 性质：线积分与路径无关，是保守场。 无散场：仅有旋度源而无散度源的矢量场。旋度表示： 性质：任何通过闭合曲面S的通量为0。 无旋无散场： 有旋有散场： 重要定理 标量拉普拉斯运算： 矢量拉普拉斯运算： 第一格林定理： 第二格林定理： 特点：格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。 亥姆霍兹定理： 特点：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。 重要公式 梯度： 散度： 旋度：