1956年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案[教学].doc

1956年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1．甲、利用对数性质计算lg2 5+lg2·lg50. 解：原式=lg2 5+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1. 乙、设m是实数，求证方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0的两根必定都是实数 证：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数 由 故原方程的两根均为实数 丙、设M是△ABC的边AC的中点，过M作直线交AB于E，过B作直线平行于ME交AC于F求证△AEF的面积等于△ABC的面积的一半 证：连MB， 则△AEF的面积=△AEM的面积+△MEF的面积 =△AEM的面积+△MEB的面积 =△ABM的面积=·△ABC的面积（三角形的中线BM二等分△ABC的面积） 丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及尺，求这个三角形的最大角的度数 解：该三角形的最大边长为，所以它所对的角最大，设此角为，由余弦定理可得 戊、设的两根 求证： 证：由根与系数关系可知： 2．解方程组 ⌒经检验，这四组解均为原方程组的解 ⌒ 3．设P为等边△ABC外接圆的BC上的一点，求证：PA2=AB2+PB·PC 证：在△ABP和△ADB中， ∠BAP=∠DAB为公用角， 又∠APB=∠ACB=∠ABD=600 △ABP∽△ADB， AB2=PA·AD…………（1） 同理可证△BPD∽△APC， ∴PB·PC=PA·PD…………（2） （1）、（2）式左、右两边分别相加，则得 AB2+PB·PC=PA（AD+PD）=PA2， ∴PA2=AB2+PB·PC 4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD，∠A＇AB=∠A＇AD（如图）求证：平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD 证：设底面是菱形ABCD的对角线相交于O，联结A＇D，A＇O，A＇B 在△A＇AB与△A＇AD中， ∵A＇A=A＇A，∠A＇AB=∠A＇AD，AB=AD， △A＇AB≌△A＇AD，∴A＇B=A＇D， △A＇BD为等腰三角形 又∵O为DB的中点，∴A＇O⊥DB 由菱形性质，DB⊥AC，∴DB垂直于底面A＇ACC＇ 但底面ABCD是经过DB的 故 平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD 5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之 证（1，）设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得 B-A=C-B，∴2B=A+C 但∵A+B+C=1800，即3B=1800，B=600. 证（2），由（1）已知△ABC必有一个角为600，今设∠B=600. ∵△ABC的三边成等比级数， ∴ 又由余弦定理可得 故△ABC为等边三角形，即其三个内角均为600.