1957年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案[整理].doc

1957年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1．甲、化简 解：原式= 乙、求适合不等式的实数x的范围 解：原式为解为：-2x1. 故x的范围为-2x1. 丙、求证 证： A S P D R C B Q 丁、在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形 证：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得 而由题设，AC=BD， ∴PQ=QR=RS=SP， 故 PQRS为一个菱形 M E B A D C N F 戊、设为异面直线，EF为的公垂线，为过EF的中点且与平行的平面，M为上任一点，N为上任一点求证线段MN被平面二等分 证：过直线作平面//（如图） 过直线及公垂线EF作一平面，在此平面内作MC∥EF，且与平面，分别交于B、C两点 设EF、MN分别与平面交于点A、D ∵点A是EF的中点， 又ME∥BA∥CF， ∴点B是MC的中点 又∵DB∥NC， ∴D是MN的中点 另法：如图，连接EN，AB,BD 由 由A是EF的中点得,D为MN的中点 此即线段MN被平面二等分 2．解方程组 解：由（1）可得 由（2）可得 将（4）代入（3）可得 再将（5）代入（4）可得 化简，得 将x值代入（5） 此即 因为所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为 3．设△ABC的内切圆半径为r，求证BC边上的高 A E O B C D 证：在直角△ABC中， 另外， 4．设△ABC为锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD，并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F，求证： （1）AE:AB=AC:AF. （2）△ABC的面积=△AEF的面积. 证（1）：设AB与⊙O相交于点G，联结EC，CG，BF. A G E D B G O F ∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF， AC:AF=AG:AE………………① 又∵AD是⊙O的切线， ∴AD2=AG·AB， 也即AG:AD=AD:AB 但∵AD=AE， ∴AG:AE=AE:AB……………② 由①、②可得 AE:AB=AC:AF 证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，则EC∥BF， △EBC的面积=△EFC的面积 ∴△ABC的面积=△AEC的面积+△EBC的面积 =△AEC的面积+△EFC的面积 =△AEF的面积 5．求证方程的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦求A、B、C的度数以及Q的值 解：将x=1代入这个方程式， 则，