1963年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案[公开课].doc

1963年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1．已知的值 解： 2．已知复数求 （1）求它的模及辐角; （2）作出图，把这图反时针方向转1500，求这时的复数 解：（1） Y 1500 600 O X （2）由图可知，复数沿反时针方向转1500后，得到的复数为 3．如图，AB为半圆的直径， CD⊥AB，AB=1，AD:BD=4:1，求CD 解：∵AD:BD=4:1， ∴AD=AB，BD=AB C A B D 又∵AB=1，∴AD=，BD= 在直角△ACD中，∵CD⊥AB， ∴CD2=AD·BD= ∴CD= A P D E B C 4．在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面 证：∵PA⊥平面α，∴PA⊥CD PB⊥平面β，∴PB⊥CD 故 CD垂直于由PA，PB所决定的平面 5．根据对数表求的值 解： 6．解方程 解： 7．在实数范围内解 解： 8．已知1、2、3、4、7、9六个数， （1）可以组成多少没有重复数字的五位数; （2）其中有多少个是偶数; （3）其中有多少个是3的倍数 解：（1）没有重复数字的五位数共有（个） （2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是2和4，故末位数的取法有种，当末位数字取定后，其余四位数字的取法只有种由此可得组成的偶数的个数为 （个） （3）五位数要为3的倍数，必须组成它的数字的和是3的倍数，这里只有1、3、4、7、9五个数字的和是3的倍数，故共有 （个） 9．已知AB与圆O相交于C、D，AC=DB，AE，BF为圆O的切线 求证：△AOE≌△BOF 证：由图可知AE2=AC·AD， BF2=BD·BC，∵AC=DB，AD=BC，∴AE2=BF2，AE=BF E F O A B C D 又EO=OF，∠AEO=∠BFO=900， ∴△AOE≌△BOF 10．半径为1的球内切于圆锥（直圆锥），已知圆锥母线与底面夹角为 （1）求证：圆锥的母线与底面半径的和是 （2）求证：圆锥全面积是 （3）当是什么值时，圆锥的全面积最小？ S O A O1 B 证（1）过球心O与直圆锥底面的中心O1作一平面与圆锥和球的截面如图因此，△SAB为等腰三角形 联OB，则∠OBO1= 设圆锥母线长为，底面半径为R， 则 又 （2）圆锥的全面积= （3）在圆锥全面积的表达式中，因其分子为常数，所以欲使全面积最小，必须使其分母最大 故当取值时，圆锥的全面积最小