1965年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案[整理].doc

1965年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1．如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积 解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为 底面边长为，故底面积 棱锥的高 故正六棱锥的体积 2．在A处的甲船测得乙船在北偏西的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西度的方向沿直线驶去追赶乙船，问是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150) C 北 B 西 A 解：设经过x小时后，甲船在C处追上以船，则BC=22x（里） AC=26x（里） 由正弦定理 ⌒ 3．把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是度，它们的经度相差度，求A、B两地之间的球面距离 ⌒ 解：A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长，设其长为L，且设 过A、B作平面O1AB⊥NS（极轴），此平面与球面交成圆O1设其半径为r，由已知，∠AO1B= 设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点，则由已知，∠AOC=∠BOD=在过A、B的大圆上有 N O1 B A O D C S 由此可知，只需求出即可 在圆O1中，线段AB= 又在过A、C的大圆中，因 ∠OO1A=900，∠OAO1=，所以 代入上式，可得线段AB= 在△AOB中，线段AB= 于是可得= 所以 由此可得A、B两地之间的球面距离为 此处之角度以度为单位 4．（1）证明（x为任意值） （2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明 （x为任意值） 证：（1） （2）当n=1时，结论显然成立假设当n=k时结论成立，即 当n=k+1时， 故当n为任意正整数时，结论均成立 5．已知一点P的坐标是（4，-2），直线L的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标，并画出此题的略图 解：曲线C是椭圆，中心在（-1，1），其长轴平行于y轴，短轴平行于x轴（如图） Y B y-x-5=0 C A X O P(4,-2) L L1 设直线L1过点P（4，-2）且垂直于直线L与曲线C相交于点A、BL1的方程为 y+2=-(x-4)即y=-x+2. 欲求L1与曲线C的交点，解方程组 故直线L1与曲线C的交点为 6．当P是什么实数时，方程与方程 有一公共根？ 解：设是它们的公共根，则 由（1），（2）消去，得 整理后，得到 代入（3），得 故当p=-2时，方程与方程有一公共根3 7．已知抛物线 Y P1 Q1 M2 P3 M1 X O Q2 M3 P2 （1）在抛物线上任取二点P1（x1