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过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面的个数
三条重合:无数个
有两条重合:一个
三条不重合:
1.同一平面:一个
2.不再同一平面:三个
3条直线交于1点,最多能确定 个平面;3条直线交于2点,最多能确定 个平面,3条直线交于3点,
3条直线交于1点,最多能确定 3个平面;
3条直线交于2点,最多能确定 2个平面,
3条直线交于3点,最多能确定 1 个平面
一、内容提要
? 本卷检测关于直线与平面的公理,判断直线与直线、平面与平面直线与平面的平行,垂直关系的定理以及应用性质定理(特别是三垂线定理及其逆定理)的准确性,深刻性、灵活性。正确地进行空间角、距离、图形面积的计算。实现已知元素。向未知元素的有效转化的能力。恰切地折迭与展平以透视对几何体的空间想象能力。严格地进行演绎推理,并理解反证法的思路及证题方法。系统掌握各种命题中的文字语言、符号语言、图形语言的运用与沟通。
二、例题分析
[例1]下列命题:(1)空间不同3点确定一个平面;(2)有3个公共点的两个平面必重合;(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面;(4)三角形是平面图形;(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;(6)垂直同一直线的两直线平行;(7)一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;(8)两组对边相等的四边形是平行四边形,其中正确的命题是____________。
? 解析:
? 由公理3知,不共线的3点才能确定一个平面,所以知命题(1)、
? (2)均错,(2)中有可能出现两平面只有一条公共线(当这3个
? 公共点共线时)。(3)空间两两相交的3条直线有3个交点或一个
? 交点,若为3个交点,则这3线共面,若只有一个交点,则可能确定
? 一个平面或3个平面,(5)中平行四边形及梯形由公理3的推论及
? 公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形,如图1,在正方体ABCD—A′B′C′D′中,直线
? BB′⊥AB,BB′⊥CD,但AB与CD不平行,所以(6)错,AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所
? 以(7)错;四边形AD′ B′C中,AD′=D′ B′=B′C=CA= ,但它不是平行四边形,所以(8)也错。
[例2]如图2,已知直线a∥b∥c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证:a、b、c、d四线共面。
? 解析:
? 与共点线问题类似,证明线共面常见方法亦为:先由
? 部分直线确定平面,再证其他直线都在这个面内;
? 另一种方法为统一法,先由部分直线确定平面,再
? 由其他直线确定平面,再证这些平面重合。
? 证明:因为a∩d=A,所以a与d确定一平面a,则d a,因为B∈d,所以B∈a,在a内过B点作直线b′
? ∥a,而b∥a,所以b∥b′,又因为b与b′有一个公共点B,故b与b′重合,所以b a,同理可证c a,所以a、b、c、d四线共面。
[例3]已知a和b是两条异面直线,求证:过a和b分别存在平面α和β,使得α∥β。
? 解析:
? 这也是种存在性的题目,它的解法通常是先作出这对
? 平面,再证这对平面满足要求,就是所要的平面。
? 证明:在直线a上任取一点P,过P作b′∥b,在直线b上任
? 取一点Q,过Q作a′∥a,设a、b′确定一个平面α,a′、b
? 确定平面β,因为a′∥a,aa,所以a′∥α,同理b∥α,
? 又a′、bβ,所以α∥β,所以过a和b分别存在两个平面
? α和β,使α∥β。
三、检测题
(一)选择题
1.设a、b是异面直线,那么(? )
? A.必然存在唯一的一个平面,同时平行于a、b
? B.必然存在唯一的一个平面,同时垂直于a、b
? C.过直线a存在唯一平面平行于直线b
? D.过直线a存在唯一平面垂直于直线b
2.已知直线l⊥平面α,直线m β,有四个命题:
? ①α∥β(l⊥m ②l∥m(α⊥β ③α⊥β(l∥m ④l⊥m(α∥β
? A.①与②?? B.③与④?? C.②与④?? D.①与③
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在△ABC所在平面外,PC=17,P到AC、BC的距离PE=PF=13,则P到平面ABC的距离为( )
? A.7??? B.8??? C.9??? D.10
4.与空间不共面的四点距离相等的平面有(? )
? A.3个??? B.4个??? C.6个??? D.7个
5.m、n是互不垂直的异面直线,平面α、β分别过m、n,则下列关系中不可能是( )
? A.m∥β??? B.α∥β??? C.m⊥β??? D.α⊥β
6.二面角α-l-β的平面角为120°,A、B∈l,AC α,BD β,AC⊥l,BD⊥l,若AB=AC=BD=1,则CD的长为(? )?
? A. ??? B. ??? C.2??
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