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迎春杯分类计数与数论答案及详解
迎春杯分类一计数与数论 答案及详解
计数:
1. 国际象棋中“马”的走法如图1所示,位于○位置的“马”只能走到标有×的格中,类似于中国象棋中的“马走日”。如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列(图2中标有△的位置),要走到第八行第五列(图2中标有★的位置),最短路线有 条。
(12)
2.
3.给你一架天平和两个砝码,这两个砝码分别重50克和100克,如果再添上3个砝码,则这5个砝码能称出的重量种类最多是 种.(天平的左右两盘均可放砝码)
【答案】94
【解析】
只有50,100两种砝码,可以组成的重量:50,100,150,即:3种,当加入砝码a,可以组成的重量:是50,100,150分别加减a,还有50,100,150本身,还要有a,所以此时有:3×3+1=10种,
再加入一枚砝码,同理:有10×3+1=31种,再加一枚:为31×3+1=94种.
分析教师:辛洪涛
4.将下图中的2007分成若干个1×2的小长方形,共有 种分法.
【答案】15
【解析】
从右下角,观察发现,从右向上只有唯一的分法,右面的区域只有唯一的情况.事实上只有左边和中间的两块有选择余地左边有5种情况,中间有3种情况所以一共就有53=15种
5. 已知九位数2007□12□2既是9的倍数,又是11的倍数;那么,这个九位数
是 。
200731212
6. 将0~9填入下面算式,每个数字只能用一次;那么满足条件的正确填法共有 种。□+□□+□□□=□□□□
60
因为3个加数只有一个达到三位,所以结果的千位只能为1,各位可能的进位最多为2,所以十位上的和最大为9+8+2=19,进位不超过1,所以加数中三位数的百位只能为9,同时结果中的百位只能为0,
因为十位必须要向百位进一位,且个位三位数之和最小为9最大为21且均不满足题意,所以个位数必向十位进1。因此十位的数字组合只能为(3,8)(4,7)(4,8)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(6,8)(7,8)一一枚举有5组数可行:十位(3,8),个位(4,5,7);十位(4,7),个位(3,5,8);十位(4,8),个位(2,6,7);十位(6,8),个位(2,4,7);十位(7,8),个位(3,4,5)。每组可能的组合有2×1×3×2×1=12种,故正确填法共有12×5=60种。
7. 有10个整数克的砝码(允许砝码重量相同),将其中一个或几个放在天平的右边,待称的物品放在天平的左边,能称出1,2,3,…,200的所有整数克的物品来;那么,这10个砝码中第二重的砝码最少是 克。
【答案】18
【解析】
首先此题是一道关于砝码的计数问题,涉及到最值问题和对称原理
从最后所求进行分析,要求第二重的砝码最少,无法进行直接突破,使用的是最值原理的重点思路之一:从反面考虑。第二重砝码最少,那么就应该使其他的砝码尽量大。
分析10个砝码的总重量很显然应该是200,其中最重的砝码应该最大是100,因为如果有超过100克的砝码,100克的物品就无法称出。这样其他9个砝码总和应该是100克。
根据对称原理,只要惩处1克的,就可以称出199克的(只要在200克中相应的拿出1克的就可以),所以只要能称出1到100克就可以称出101到199克。同理,要能称出1到100克,只要能称出1到50克就可以,所以要称出1到50克,就应该有1克,2克,4克,8克,16克,18克,这样离200克还差51克,同时还差3个砝码,把51平均分成三份,所以每个砝码应该是17,这样就得到10个砝码,分别是1,2,4,8,16,17,17,17,18,100,所以第二种的砝码至少应该是18克。
8. 一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵(右图是一个四层空心方阵的示意图).后来小林又添入28个棋子,这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵(不能移动原来的棋子),那么最开始最少有 个棋子.
【答案】
【解析】
将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法:
1、在最外层增加一圈则五层方阵最外层至少有40枚棋子所以不符合题意;
2、在最内层增加一圈则最外层应有8×4+28=60枚棋子,最开始应有60+52+44+36=192枚棋子;
3、在最内层增加一行一列,在最外层的另外两个方向也增加一行一列,那么五层方阵最内层边长为x,最外层边长为x+4×2=x+8共增棋子2x-3+2(x+8)-1=4x+12,所以4x+12=28,解得x=4,最外层边长4+8=12,原有棋子122-(4-2)2-28=112,所以最开始最少有112个棋子。
9. 将5枚棋子放入右侧编号的4×
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