近世代数学习系列十群论与魔方.docVIP

群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1 ? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0 = e，a?n = (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1 ? a?1 ?????(1) 如果(G, ?)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b而言，a ? b = b ? a，我们便说(G, ?)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。 此外，如果在G中存在一个元素g使得对G中任何元素a，都有a = gn，其中n为0、正整数或负整数，我们便说(G, ?)是「循环群」(Cyclic Group)。在此情况下，我们说G由g生成，记作G = g ，其中 g 称为g的「生成集合」(Span)，其定义为 g = {gn: n是整数}，我们也说g是G的「生成元」(Generator)。 举例说，如果我们把G定为整数集Z，把「?」定为整数的加法「+」，那么容易验证(Z, +)构成一个交换群，这个群的「单位元」是0，对每个整数n而言，其「逆元」就是其负数?n。而且(Z, +)也是一个循环群，其生成元就是1，因为Z中的元素要么是0，要么是正整数，要么是负整数，而对任何正整数n而言，我们有n = 1 + 1 + ... 1 (共n个1)，以及?n = (?1) + (?1) + ... (?1) (共n个?1)。由此我们有Z = 1 。 类似地，如果我们把G定为非零实数集R*，把「?」定为实数的乘法「×」，那么容易验证(R*, ×)也构成一个交换群，这个群的「单位元」是1，对每个非零实数x而言，其「逆元」就是其倒数1 / x。但(R*, ×)不是一个循环群，因为我们无法找到R*的生成元。 「群」是一个非常广泛的概念，其定义中的集合G的元素可以是各式各样的对象，除了上述较为具体的整数／非零实数外，还可以是某些抽象数学对象，例如「几何变换」。以下介绍一种特殊的几何变换－「对称变换」，即可保持几何图形的形状不变的变换，以下图为例： 上图显示一个等边三角形的三个顶点A、B、C以及三条对称轴。上图共有以下六种对称变换：恒等变换(Identity Transformation，记作I，即不作任何变换，亦等同于逆时针旋转0°)、逆时针旋转120° (记作R)、逆时针旋转240° (记作R2)、以通过三角形上方顶点(即上图中的A点)的轴为对称轴的反射(记作RA)、以通过三角形左下方顶点(即上图中的B点)的轴为对称轴的反射(记作RB)、以通过三角形右下方顶点(即上图中的C点)的轴为对称轴的反射(记作RC)(注1)。 我们可以把上述六种对称变换组成一个集合，记作S3 (下标3代表三角形)。这个集合中的元素有一种二元运算，称为「复合」(Composition)，记作「?」。两个变换的「复合」就是先后进行该两个变换，举例说，RA ? R2便代表先以