初二数学第六讲多边形及其内角和(学案)讲义.docx

第06讲 多边形及其内角和 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 全国-人教版 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 1.多边形 2.多边形的对角线 3.多边形的内角和与外角和 4.平面镶嵌（密铺） 学习目标 1.了解多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式； 2.了解四边形的不稳定性； 3.会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题 学习重点 1.多边形的内角和公式的推导； 2.利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等； 3.多边形内角和性质的应用. 学习难点 1.多边形内角和性质的应用. 2.镶嵌问题（综合运用多边形内角和等知识）. 学习过程 一、复习预习 M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898~1972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家。作品多以平面镶嵌、循环等为特点，兼具艺术性与科学性。 1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的：他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。 人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。 二、知识讲解 1．多边形 （1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。①从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，将多边形分成 n--2 个三角形.② n边形一共有条对角线。 （3）多边形的内角和公式：n边形的内角和为（n≥2）。 （4）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。 2．平面镶嵌 （1）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。 （2）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。 （3）能否镶嵌成一个平面的关键是看：拼接在同一个顶点的各个角的和恰好等于360°（用于判断几种多边形的拼接问题）。所以说：在仅用一种正多边形镶嵌只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可以。 考点/易错点1 注意：各个角都相等、各个边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形. 考点/易错点2 内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。 外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角或外 角度数。 考点/易错点3 平面镶嵌归纳：①拼接在同一点的各个角的和等于360°；②只用正三、四、六边形可以镶嵌.其他正多边形不能镶嵌；③任意全等的三角形一定可以镶嵌；④任意全等的四边形一定可以镶嵌。 探究正整数解，得出不同的组合方式： 利用代数式：x n + y m = 360°（其中n、m为正多边形的内角度数，x、y为正整数.） 正三角形和正方形（两种拼法）、正三角形和正六边形（两种拼法）、正三角形和正十二边形、正四边形和正八边形。正五边形和正十边形内角（108°+108°+144°）可以构成360°，但不能进行平面镶嵌。 三、例题精析 【例题1】 【题干】以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（　　） 　 A． 一个 B． 2个 C． 3个 D． 无数个 【答案】D．解：四条线段组成的四边形可有无数种变化． 【解析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化． 【变式1】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原多边形的边数可能为（　　） 　 A． 14或15或16 B． 15或16 C． 14或16 D． 15或16或17 【答案】A．一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少