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远航教育因式分解讲义(精华版)
一、定义
1、因式分解:把一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
例题:判断下列各式哪些是整式乘法,哪些是因式分解?
(1) (2)
(3) (4)
(5)(a+3)(a-3)= -9 (6)
整式乘法: 因式分解:
整式乘法:从左到右由整式积的形式转化成和差形式(多项式);
因式分解:从左到右由和差形(多项式)转化成整式的积的形式。
二、因式分解的方法
1、提公因式法
公因式:几个多项式的公共的因式。
例题:用提取公因式法分解因式正确的是( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2y-3xy+6y =3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac =-a(a-b+c)
D.x2y+5xy-y =y(x2+5x)
注意:首项有负常提负:-a2+ab-ac =-a(a-b+c)
各项有“公”先提“公”:3x2y-3xy+6y =3y(x2-x+2)
某项提出莫漏1:x2y+5xy-y =y(x2+5x+1)
括号里面分到“底”:
2、公式法
将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解,这种方法叫做公式法。
完全平方公式:
平方差公式:
例题:1、下列多项式,能用完全平方公式分解因式的是( )
A、x2+xy+y2 B、x2-2x-1
C、-x2-2x-1 D、x2+4y2
2、 分解因式(1) (2)
3、十字相乘法
例3: 把2-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果。
4、分组法
例题:(1) 7x2-3y+xy-21x
(2)1-x2+4xy-4y2
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
三、练习题
1、把下列各式因式分解
(1) (2)
(3) (4)9m2-6m+2n-n2
(5)
2、已知:值。
一提(公因式)二套(公式)三分组,细看几项不离谱,
两项只用平方差,三项十字相乘法,
阵法熟练不马虎,四项仔细看清楚,
若有三个平方数(项),就用一三来分组,否则二二去分组,
五项、六项更多项,二三、三三试分组,
以上若都行不通,拆项、添项看清楚。
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