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选修变化率与导数(课时)
第1-3课时(周二——周四3月2日-4日)
课题:选修(2-2)1.1变化率与导数
三维目标:
1、 知识与技能
(1)理解平均变化率的概念;
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
(3)理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率;
(5)理解导数的几何意义。
2、过程与方法
(1)通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数;
(2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;(3)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情态与价值观
(1)通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识,培养学生思维的科学性、严密性,不断认识数形结合和等价转化的数学思想;
(2) 通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣.
(3)通过对变化率与导数的学习,不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参与意识和合作精神
教学重点:
瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成,导数及几何意义的理解。
教学难点:
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,导数及几何意义的理解。
教 具:多媒体
教学方法:合作探究、分层推进教学法
教学过程:
一、双基回眸 科学导入:
★前面我们学习了函数及几种重要的函数,而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系:
下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式:
二次函数
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点:
同学们,相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?
容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢?
今天,我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。
二、 创设情境 合作探究 :
【首先来探究上面所提出的问题】
我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
现将半径r表示为体积V的函数,那么
【分析】,
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
【再来探究一个问题——高台跳水】
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算:和的平均速度
在这段时间里,;
在这段时间里,
【探究】计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【探究过程】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,,
所以,
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
【引出平均变化率的概念】
一般地,函数f(x)在区间上的平均变化率为
①本质:如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,,则函数从到的平均变化率为
②几何意义:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率(割线的斜率);
③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度;
【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】
下面继续探索:
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?
小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在关系,那么我们就会计算任意一段的平均速度,通过平均速度来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?
我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。
时,在这段时间内 时,在这段时间内 当
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