选修变化率与导数.docVIP

第三章 变化率与导数 §3.1.1 变化的快慢与变化率 一、课前预习 学习目标 1.会列举与变化率有关的实际问题。理解变化率是很多实际问题中不可缺少的重要数据，从中感受变化率的意义。 2.能结合具体实例计算平均膨胀率、平均速度，理解函数的平均变化率的概率，会求已知函数的平均变化率。 要点梳理 1．函数平均变化率 函数y＝f(x)在点x=x0及其附近有定义，把自变量的变化x－x0称作______改变量，记作____,函数值的变化f(x)－f(x0)称作______的改变量，记作____,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即______________. 2．瞬时速度 对一般的函数g＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0， Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是 ＝. 而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 . 二、课内探究 ※ 新课探究： 1．函数的平均变化率及其求解步骤 已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0，Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，比值＝叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 2．瞬时速度及其求解步骤 设物体的运动方程为s＝s(t)，如果该物体在时刻t0时的位移为s(t0)，在时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位移增量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．那么，位移增量Δs与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝ ※ 典型例题: 例1：求函数y＝f(x)＝3＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 例2：已知s(t)＝gt2，其中g＝10 m/s2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t在t＝3秒时的瞬时速度． ※ 变式训练: 在例1中，分别求函数在x＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小． 三、当堂检测 1．已知函数y＝f(x)＝＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A．0.40　　　　　　 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 3．对于函数f(x)＝－2x＋1，当x从1变为2时函数值的增加量为________，函数值关于x的平均变化率为______． 4．求函数y＝当自变量x从x1变为x2时的平均变化率． §3.1.2 导数的概念与几何意义(两个课时） 一、课前预习 学习目标 1.知道瞬变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数。掌握函数在某一点处的导数定义，并会用导数定义求一些简单函数在某一点处的导数。 2.掌握函数在某一点处导数的几何意义，进一步理解导数定义。 3.理解导函数概念，弄清楚函数在一点处的导数与导函数的区别与联系。 要点梳理 1．导数的概念 (1)如果函数f(x)在点x0处有改变量(增量)Δx，那么f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率＝ ，当Δx→0(但Δx≠0)时，如果→常数，这个常数就叫做f(x)在x0处的 ． (2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为f(x)在x＝x0处的 记作 或 ． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________． 3．导数的物理意义：如果把y＝f(x)看做是物体的运动路程，那么，导数f′(x0)表示 ________， 这就是导数的物理意义。 二、课内探究 ※ 新课探究： 函数在一点处的导数求解步骤 正确理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别和联系。 求曲线的切线方程。 ※ 典型例题: ※ 变式训练: 1、求函数y＝2＋4x在x＝3处的导数． 2、过曲线y＝f(x)＝上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． 三、当堂检测 1．函