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选修坐标系与参数方程6高考复习
选修4-4:坐标系与参数方程
1. 极坐标系
①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素,缺一不可。规定:当点M在极点时,它的极坐标可以取任意值。
②平面直角坐标与极坐标的区别:
在平面直角坐标系内,点与有序实数对(x,y)是一一对应的,可是在极坐标系中,虽然一个有序实数对只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应,极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。
③极坐标系中,点M的极坐标统一表达式。
④如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示,同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。
,并写出点M的统一极坐标。
2.极坐标与直角坐标的互化:
(1)互化的前提:①极点与直角坐标的原点重合;②极轴与轴的正方向重合;③ 两种坐标系中取相同的长度单位。互化公式,
,使之出现2是常用的方法.
【例2】极坐标方程化为直角坐标方程为 ( )
A. B. x2 +(y+)2 = C. x2 +(y)2 = D. (x)2 + y2 =
【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.
(1)
(2)
3. 简单曲线的极坐标方程
1极坐标方程的定义:
在极坐标系中,如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程,并且坐标适合方程的点都在曲线C上,那么方程叫做曲线C的极坐标方程。(由于都有明确的几何特征,有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁)
,0)半径为的圆的极坐标方程为:
②以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为 : (是定值,是任意的)
③(1)过极点,角为的射线的极坐标方程过极点,角为的射线的极坐标方程直线极坐标议程可以用表示
极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?
为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为:
【例4】极坐标方程()=0(0)表示的图形是( )
(A)两个圆 (B)两条直线 (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线
【例5】①过极点且关于极轴的倾斜角是的直线的极坐标方程是___________
②过点且与极轴垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
③过点且与平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A. B. C. D.
④过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是
4.参数方程:参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.,分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
①定义:一般在直角坐标系中,一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。即且满足(1)对于[a,b]中的任何一个t1,则得到的(x1,y1)点都在曲线上;(2)曲线上的任意一点P(x0,y0)的坐标x0,y0通过在[a,b]上可求得一个t.那么上述方程叫曲线的参数方程。相对参数方程而言,过去的方程就叫做曲线的直角坐标方程,简称普通方程。,倾斜角为求这条直线的方程.
解:直线的普通方程为
把它变形成
进一步整理
令该比例的比值为,即
【问题】:已知一条直线过点,倾斜角为求这条直线的方程.
解:在直线上任取一点M(x,y),则
设是直线的单位方向向量,则
因为所以存在实数使即
于是
即
过点,倾斜角为的直线的参数方程为
③参数的几何意义
所以,直线参数方程中参数的绝对值等于直线上动点到定点的距离.
的几何意义,简化求直线上两点间的距离.
,只有时,才具有此几何意义。
⑤【结论】
【例6】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与交于两点,求
【例7】(08新课标卷)已知曲线C1:(为参数),曲线C2:(t为参数).
(Ⅰ)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(Ⅱ)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线.写出的参数方程.与公共点的个数和C公共点的个数是否相同?说明你的理由.
(09新课标卷)已知曲线C: (t为参数), C:(为参数)。
(1)化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线
(t为参数)距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(10新课标卷
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