选修坐标系与参数方程6高考复习.docVIP

选修4-4：坐标系与参数方程 1. 极坐标系 ①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。 ②平面直角坐标与极坐标的区别： 在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。 ③极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。 ④如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。 ，并写出点M的统一极坐标。 2.极坐标与直角坐标的互化： （1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。互化公式， ,使之出现2是常用的方法. 【例2】极坐标方程化为直角坐标方程为 ( ) A. B. x2 +（y+）2 = C. x2 +（y）2 = D. （x）2 + y2 = 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1) (2） 3. 简单曲线的极坐标方程 1极坐标方程的定义： 在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程。(由于都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁) ，0）半径为的圆的极坐标方程为： ②以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为 : (是定值，是任意的) ③（1）过极点，角为的射线的极坐标方程过极点，角为的射线的极坐标方程直线极坐标议程可以用表示 极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为： 【例4】极坐标方程（）=0（0）表示的图形是（ ） （A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 【例5】①过极点且关于极轴的倾斜角是的直线的极坐标方程是___________ ②过点且与极轴垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. ③过点且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ） A. B. C. D. ④过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是 4.参数方程：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。 ①定义：一般在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。即且满足(1)对于[a，b]中的任何一个t1，则得到的(x1，y1)点都在曲线上；(2)曲线上的任意一点P(x0，y0)的坐标x0，y0通过在[a，b]上可求得一个t.那么上述方程叫曲线的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线的直角坐标方程，简称普通方程。，倾斜角为求这条直线的方程. 解：直线的普通方程为 把它变形成 进一步整理 令该比例的比值为，即 【问题】：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程. 解：在直线上任取一点M(x,y),则 设是直线的单位方向向量，则 因为所以存在实数使即 于是 即 过点，倾斜角为的直线的参数方程为 ③参数的几何意义 所以,直线参数方程中参数的绝对值等于直线上动点到定点的距离. 的几何意义,简化求直线上两点间的距离. ，只有时，才具有此几何意义。 ⑤【结论】 【例6】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与交于两点，求 【例7】（08新课标卷）已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）． （Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； （Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由． （09新课标卷）已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。 （1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （10新课标卷