选修坐标系与参数方程讲坐标系.docVIP

第1讲　坐标系考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题． 【复习指导】 复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法 基础梳理 1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或 3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b. 4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ； (3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ. 双基自测 1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________． 解析　直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案　 2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析　ρ＝2sin θ＋4cos θ，ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 答案　x2＋y2－4x－2y＝0 3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________． 解析　ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为. 答案　 4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________． 解析　直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)， 点到直线l的距离为2. 答案　2 5．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2 ＝2 ＝4. 答案　4 考向一　极坐标和直角坐标的互化 【例1】(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________________． [审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程． 解析　点A的极坐标为，点A的平面直角坐标为(，1)，又直线l过点A且与极轴所成的角为，直线l的方程为y－1＝(x－)tan ，即x－y－2＝0，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1. 答案　ρcos＝1或ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1. (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (2011·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________． 解析　由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y可得，ρcos θ＝1, ρsin θ＝－，解得ρ＝2，θ＝2kπ－(kZ)，故点P的极坐标为(kZ)． 答案　(kZ) 考向二　圆的极坐标方程的应用 【例2】(2011·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________. [审题视点] 先