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选修坐标系与参数方程讲坐标系
第1讲 坐标系考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题.
【复习指导】
复习本讲时,要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法
基础梳理
1.极坐标系的概念
在平面上取一个定点O叫做极点;自点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系(如图).设M是平面上的任一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
2.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则或
3.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
4.圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.
双基自测
1.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为________.
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.
答案
2.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.
解析 ρ=2sin θ+4cos θ,ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ.
x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.
答案 x2+y2-4x-2y=0
3.(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________.
解析 ρ=2sin θ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,联立方程,得解得即两曲线的交点为(-1,1),又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为.
答案
4.在极坐标系中,直线l的方程为ρsin θ=3,则点到直线l的距离为________.
解析 直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),
点到直线l的距离为2.
答案 2
5.(2011·广州调研)在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
解析 由ρsin=2,得(ρsin θ+ρcos θ)=2可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2 =2 =4.
答案 4
考向一 极坐标和直角坐标的互化
【例1】(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,则直线l的极坐标方程为________________.
[审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程.
解析 点A的极坐标为,点A的平面直角坐标为(,1),又直线l过点A且与极轴所成的角为,直线l的方程为y-1=(x-)tan ,即x-y-2=0,直线l的极坐标方程为ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理为ρcos=1或ρsin=1或ρsin=1.
答案 ρcos=1或ρcos θ-ρsin θ-2=0或ρsin=1或ρsin=1.
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.
(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
【训练1】 (2011·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是________.
解析 由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ=x,ρsin θ=y可得,ρcos θ=1,
ρsin θ=-,解得ρ=2,θ=2kπ-(kZ),故点P的极坐标为(kZ).
答案 (kZ)
考向二 圆的极坐标方程的应用
【例2】(2011·广州测试)在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A、B两点,则|AB|=________.
[审题视点] 先
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