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一、频率 二、概率的公理化定义 目录 上页 下页 结束 概率统计教研室 目录页 上一页 下一页 结束页 §3 概率的定义及其性质 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 1. 频率的定义 频率是否有统计规律性 一般地 越大,则 越大 的值是“随机的” 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 频率的实例 随n的增大, 频率f 呈现出稳定性 实验者 0.5005 12012 24000 皮尔逊 0.5016 6019 12000 皮尔逊 0.5069 2048 4048 蒲 丰 0.5181 1061 2048 德 · 摩根 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 　　自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的. 高尔顿板试验 单击图形播放/暂停　ESC键退出 请看动画演示 高尔顿板试验 由上述可知，频率具有下列特点： 随机波动性—对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； 在第五章将证明贝努里大数定理: 从理论上保证了利用频率稳定值 量度事件 发生的 可能性大小(概率)的可行性. 频率稳定性—随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。 2. 频率的性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 当试验次数n相当大时，可以用频率作为概率的近似值： 事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的统计规律性. 前苏联数学家科尔莫戈罗夫在1933年将频率是三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义. 概率的可列可加性 1.概率的定义 证明 由概率的可列可加性得 2. 概率的性质 概率的有限可加性 证明 由概率的可列可加性得 2. 概率的性质 证明 2. 概率的性质 ? A B AB 证明 证明 2. 概率的性质 证明 2. 概率的性质 证明 将A∪B互斥分解得: 又 故由有限可加性与减法公式得: 2. 概率的性质 加法公式的推广 三个事件和的情况 n 个事件和的情况 在应用文图的直观性时，可以把事件A的概率 视为该平面集合A的面积，注意P(Ω)=1。利用此观 点容易理解和记忆一些概率公式（例如，减法公式， 加法公式，乘法公式等）。 解 Ω A B AB 1. 概率的定义 概率是随机事件发生可能性大小的度量 概率是频率的稳定值 概率是样本空间到实数集的集合函数 小 结 频率具有波动性和稳定性 2. 概率的性质 三条公理 六条性质 练习1：设A,B两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问 1、在什么条件下,P(AB)取得最大值,并求最大值? 2、在什么条件下,P(AB)取得最小值,并求最小值? 〖解〗由概率的加法公式得: 由0P(A)P(B)知:A≠Φ,B≠Φ,且AB≠Φ,故A 与B相容,且应有 [保证和事件概率最小],于是， ,故 1、当 最小时, 才能最大. 否则P(A)=P(B) =P(AB)=0矛盾 由于AB≠Φ,故P(AB)≠0。 易知:当 时,有 □ 2、当 最大时,P(AB)才能最小. [否则P(A∪B)=P(A)+P(B)1]