概率论与数理统计总结讲述.doc

随机事件与概率 随机事件及其运算 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，Ω表示必然事件，?表示不可能事件。 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。 时间的表示有多种： 用集合表示，这是最基本形式 用准确的语言表示 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A?B; （2）相等关系：若A?B且B??A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 （3）互不相容：如果A∩B=?，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容 7、事件运算 （1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩ B或AB。 （3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 A－B。用交并补可以表示为。 （4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即 “A不发生”，记为。 对立事件的性质：。 8、事件运算性质：设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、 A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）： 9、事件域：含有必然事件Ω?，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A∈ξ，则对立事件∈ξ； （3）若An∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ξ?。 10、两个常用的事件域： （1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； （2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。 概率的定义及其确定方法 1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足： （1）非负性公理：若A∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1 （3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有 ， 即，则称P（A）为时间A的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间 2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是： （1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行； 在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称 fn(A)= ， 为事件A出现的频率； 频率的稳定值就是概率； 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法： 它的基本思想是： 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个； 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； 若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为 P（A）=。 4、确定概率的几何方法： 它的基本思想是： 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用Sn表示； 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的； 若事件A为中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为 P（A）= . 5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。 6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。 第三节 概率的性质： P(Φ)＝0 有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容，则有