概率论与数理统计复习资料——含习题讲述.doc

《概率论与数理统计》课程 复 习 资 料 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子 摸球模型 例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m个球中有k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率. 占位模型 例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}； (3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}. 抽数模型 例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 如对于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB) 例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A－B)，P(AB)，，， 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,…,n,…的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i | A)。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 (1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n,… 确定参数 求概率P(aXb) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)] 例：随机变量的分布律为. 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 确定参数k 求概率P(0X3)， 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数的分布律及期望 (2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x) 确定参数 求概率P(aXb) 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)] 例：已知随机变量的概率密度为， 确定参数k 求概率 求分布函数F(x) 求期望E(X)，方差D(X) 求函数的密度及期望 (3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,…,m,…；j=1,2,…,n,… 确定参数 求概率P{(X,Y)(G} 求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,…,m,…；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,…,n,… 求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,…,m,…和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,…,n,… 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望E[g(X, Y)] 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y X 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 2 0.02 0.05 0.1 0.13 求概率P(XY)， P(X=Y) 求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y) 求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关 求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律 (4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x, y) 确定参数 求概率P{(X,Y