概率论与数理统计_第5章讲述.ppt

定理1 Levy-Cramer连续性定理 此定理表述了分布函数与特征函数一一对应的“连续性”. 定理2 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理比贝努里大数定律更强，也更有用. 则对于任意实数 x , 定理3 Levy-Lindeberg中心极限定理 注 则 为 的标准化随机变量. 即 n 足够大时， 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 记 近似 即 近似服从 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为 ， 是由于许多彼此没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素 k的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果. 例1 某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时每台耗电均为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解： 设要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.由题意有： 即至少供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 本章主要内容 §1 大数定律 §2 中心极限定理 第五章 极限定理 在第一章中我们曾指出：长期实践发现，虽然个别随机事件在一次试验中可以发生，也可以不发生，具有偶然性，但大量重复试验中却能呈现出其统计规律性：随着试验次数的增加，某一事件发生的频率渐渐接近于某个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢? 第五章 极限定理 §5.1 大数定律 第五章 极限定理 §5.1 大数定律 要讨论随机现象的统计规律性，首先应明确在数学上怎样描述“一定条件下的大量重复试验”．前面，我们曾建立了贝努里试验概率模型，它可以作为在一定条件下重复试验的数学模型．在n次贝努里试验中，各次试验是相互独立的，并且在每次试验中，所关心的主要问题“事件A发生的概率 ”保持不变，同时认为每次试验的样本空间相同(即试验条件不变，或试验可重复)．这些特征可以看作是从数学角度把“在一定条件下”、“重复试验”等术语的涵义加以明确化． 作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的相关概念. 定理1 （贝努里大数定律） 证明 定理2 （泊松大数定律） 证明 显然，贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况．辛钦大数定律在应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学期望值提供了一条实际可行的途径．例如，要估计某地区的平均亩产量，可收割某些有代表性的地块，比如n块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计． 证明 大数定律的现实意义 观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性．在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定．除了上述的“频率”这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有“平均值”的统计稳定性． 譬如，学生食堂有几千名学生就餐，尽管每个同学午餐的饭量略有不同，且个人的饭量也有随机的波动，但正常情况下，总的平均饭量是相对稳定的．因而炊事员不必每天按人登记饭量也不致使做出的饭菜出现太大的余缺．再比如，对于一栋楼内使用的灯，很难预料在一天内需要更换多少被烧毁的灯泡，但对于全校所需更换的灯泡数却能较为准确地估计，对于一个城市来说，就可更加稳定地预料． 第五章 极限定理 §5.2 中心极限定理 大数定律断言了频率等“平均值”的稳定性，从理论上明确了概率的客观意义．本节的中心极限定理，则要给出频数的渐近分布的更精确的论述． 前面几章，我们一直强调正态分布的重要地位．实际上，客观实际中有许多随机变量服从或近似服从正态分布．实践证明，有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量(随机因素)综合影响所形成，但个别因素在总的影响中的作用却是微小的．这种随机变量往往会近似服从正态分布．这便是中心极限定理的客观背景．中心极限定理就是论证“在一定条件下，随机变量和的极限分布近似服从正态分布”的