概率论与数理统计第八章2讲述.ppt

无偏性要求可以改写为 ，这表示无偏估计没有系统误差. 当我们使用 估计 时，由于样本的随机性，两者之间总是有偏差的，这种偏差时而为正，时而为负.无偏性表示，把这些偏差平均起来其值为0，这就是无偏估计的含义. 例 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和1个白球，现随机地抽取一球，结果取得白球，问这个球是从哪个箱子中取出？ 解 不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出的是白球，B表示取出的是黑球. 如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99；而如果我们取出的是乙箱，则A发生的概率为0.01. 现在一次试验结果，A发生了，我们的第一印象是“此白球（A）最像是从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对结果A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱取出的，这个推断符合人们的经验事实，这里“最像”就是“最大似然”之意。 例 设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从两点分布b(1,p)，其中p是未知的不合格品率.现抽取n个产品看其是否合格，得到样本 ，这批观测值发生的概率为： 由于ｐ是未知的，我们应该选择ｐ使得上式表示的概率尽可能大，因此将上式看作是未知参数ｐ的函数，用Ｌ(p)表示，称作似然函数，即 要求Ｌ(p)的最大值并非难事，将Ｌ(p)两端取自然对数对p求导，令其为0，即得p的最大似然估计，为 置信区间定义 总体期望值的区间估计 小样本下正态总体方差的区间估计 课堂练习 小结 布置作业 §3 区间估计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条. 参数的点估计给出了一个具体的数值，便于计算和应用， 但点估计值未必等于真实值。即使相等也无法判定。 实际中，度量一个点估计精度的最直观的方法就是给出 未知参数的一个区间。 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平. 即根据估计量的分布，在一定的可靠程度下，指出被估计 的总体参数所在的可能数值范围。 这类问题称为参数的区间估计。 1、总体分布未知 于是 要提高精度，需要增大样本容量n 2、正态总体 要提高精度，需要增大样本容量n 第八章 参数估计 实际工作中碰到的随机变量往往是知道大致的分布 类型，但不知道确切的分布。 需要根据样本来估计总体的参数。 这类问题称为参数估计。 通常有两种方法： 点估计：以样本的某一函数值作为总体中未知参数的 估计值。 区间估计：依据样本把总体的参数确定在某一范围内。 §1 估计量的优劣标准 希望估计量能代表真实参数。为了比较不同的估计值， 必须对各种估计的好坏给出评价标准。 三种常用的评价标准： (一)一致估计 一致性被认为是对估计的一个最基本要求，如果一个估计量，它都不能把被估计的参数估计到任意指定的精度，那么这个估计是很值得怀疑的。 通常，不满足一致性要求的估计一般不予考虑。证明估计的一致性一般可应用大数定律或直接由定义来证。 (二)无偏估计 如果有一系列抽样构成各个估计， 希望这些估计的期望值与参数的真实值相等。 即样本估计量在参数值的真实值周围摆动，没 有系统误差。 一致估计是大样本下估计量的评价标准，对于小样本而言， 需要一些其他的评价标准。 (三)有效估计 它反映了总体k 阶矩的信息 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 k=1,2,… 它反映了总体k 阶 中心矩的信息 §2 点估计 (一)矩法估计 1900年英国统计学家K.Pearson提出了一个替换原则，后来人们称此方法为矩法。 替换原理指的是利用样本的数字特征作为总体数字特征的估计。 灯泡的平均寿命约为1147小时。 用事件A出现的频率估计事件A发生的概率. 例2 用矩法估计事件发生的概率p 即可用事件发生的频率来估计概率。 联立求解可得 矩估计的优点：直接、简便，使用场合广。 缺点：未充分利用分布信息 (二)最大似然法 两人射击，一人打中，一人没打中 最大似然估计法是求估计用得最多的方法，最早是由高斯在1821年提出，但一般将之归功于R.A.Fisher，因为Fisher在1922年再次提出这种想法并证明了它的一些性质而使得最大似然法得到了广泛的