概率论基础知识讲述.ppt

2。常见随机变量的方差 （1）0－1分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （4）均匀分布 （5）指数分布 （6）正态分布 归纳表格 返回 3。方差的性质 性质1 常数的方差等于零；随机变量与常数之 和的方差等于随机变量的方差。 即 性质2 常数与随机变量乘积的方差等于这个常 数的平方与随机变量方差的乘积。 即 性质3 两个独立随机变量之和的方差等于它们 方差之和 即 性质3可推广到n个相互独立的随机变量。 返回 §4.3 协方差与相关系数 1.协方差 2.相关系数 3.矩、协方差矩阵 返回 1.协方差 定义 设二维随机变量(X,Y),且E(X),E(Y)存在, 如果E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称此值为X与 Y的协方差,记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 离散型计算公式 连续型计算公式 另有计算公式 计算公式 有如下计算公式 特别地,取X=Y时有 协方差的性质 协方差的性质 （1） （2） （3） （4）若X,Y互相独立，则 反之若 ，则X,Y一定不互相独立 另需注意， 是X与Y相互独立的必要非充分条件。 返回 2.相关系数 定义：若 ， 称 为 X与Y的相关系数，记为 即 相关系数的性质 相关系数的性质 （1） （2） 的充分必要条件是存在常数a,b使 定义 若相关系数 则称X与Y不相关 注：两个随机变量的相关系数是两个随机变量间线性联系密切程度的度量。 越接近1，X与Y之间的线性关系越密切。 注：易得X与Y不相关的充要条件是 。 特别地：二维随机变量服从正态分布，不相关的充要条件是两者互相独立 返回 3.矩、协方差矩阵 定义：设X为一随机变量，k为正整数，如果 存在，则称 为X的k阶原点矩，记为 ，即 如果 存在，则称 为 X的k阶中心矩，记为 ，即 显然：一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差。 定义续 定义续 定义：设X,Y为随机变量，若 存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩，若 存在，则称它为X和Y 的k+l阶混合中心矩。 协方差Cov(X,Y)就是X,Y的二阶混合中心矩 二维协方差矩阵 二维协方差矩阵 定义：将二维随机变量 的4个二阶中心 矩 排成矩阵的形式，称此矩阵 为随机变量 的协方差矩阵。 n维随机变量协方差矩阵 n维随机变量协方差矩阵 定义：设n维随机变量 的二阶混合中 心矩 存在，则称矩阵 为n为随机变量 的协方差矩阵。 注：因为 所以，协方差矩阵的对角线元素即为 的方差。 返回 第五章:大数定律及中心极限定理 §5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 §5.2 大数定律 §5.3 中心极限定理 返回 §5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 定理:(切比雪夫等式)设随机变量X的期望E(X)及 方差D(X)存在,则对任意的小正数 ,有 或 不等式的含义:当 很小时,区间 也很小,不等式用于估计X落入上述区间的概率.当D(X)很小时, X落入上述区间的概率很大,落入区间外的概率很小. 返回 §5.2 大数定律 1.贝努利大数定律 2.独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律 返回 1.贝努利大数定律 定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次 数，p是事件A的概率，则对任意正数 ，有 证明略。 该定律表明：当n充分大时，事件A发生的频率 与概率p的绝对值偏差小于任意给定的正数 这一事件的概率可以任意接近于1. 也正是“概率是频率的稳定值”的确切含义。 返回 2.独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律 若随机变量序列 是相互独立的， 且所有的 又具有相同的分布，则称 是独立同分布的随机变量序列。 定理：设 是独立同分布的随机变量 序列， ， 均存在， 则对于任意的 有 定律分析 定律分析 定理说明：经过算术平均后得到的随机变量 在统计上具有一种稳定性，它