概率论核心概念及公式(全)讲述.docx

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概率论核心概念及公式(全)讲述

《概率论与数理统计》核心公式 第1章 随机事件及其概率 (1)排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 (3)一些常见排列 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。 为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6)事件的关系与运算 ①关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生): 如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:AB,或者AB。AB=?,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率: , (7)概率的公理化定义 设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件,,…有 常称为可列(完全)可加性。 则称P(A)为事件的概率。 (8)古典概型 1° , 2° 。 设任一事件,它是由组成的,则有 P(A)= = (9)几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件A, 。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。 (10)加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B) (11)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时,P()=1- P(B) (12)条件概率 定义 设A、B是两个事件,且P(A)0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。 条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) (13)乘法公式 乘法公式: 更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)0,则有 …………。 (14)独立性 ①两个事件的独立性 设事件、满足,则称事件、是相互独立的。 若事件、相互独立,且,则有 若事件、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 (15)全概公式 设事件满足 1°两两互不相容,, 2°, 则有 。 (16)贝叶斯公式 设事件,,…,及满足 1° ,,…,两两互不相容,0,1,2,…,, 2° ,, 则 ,i=1,2,…n。 此公式即为贝叶斯公式。 ,(,,…,),通常叫先验概率。,(,,…,),通常称为后验概

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