概率论第二版第3章习题答案讲解讲述.doc

习 题3.1 1． 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数，求的分布列． 解 X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3，因此的可能取值为，且有 ， ， ，， ， ． 由此，的分布列可以由下表给出 Y X 0 1 2 3 0 1 2 0 0 21/120 35/120 0 14/120 42/120 0 1/120 7/120 0 0 4． 设的密度为求． 5． 设的密度为． 解 （1）由联合密度函数的性质，有 ，得 ． （2）． 10． 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只． 定义下列随机变量： 分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率． 解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得的联合分布列为 ， ， ， ． 如下表 X Y 0 1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25 两次摸到同样颜色球的概率为 ． （2）无放回抽样：由乘法定理得的联合分布列为 ， ， ， ． X Y 0 1 0 1 0.3 0.3 0.3 0.1 如下表 两次摸到同样颜色球的概率为 ． 习 题3.2 2． 已知的联合分布函数为， 求：1）边缘分布函数2）联合密度边缘密度与的独立性 即有 ， ． （2） 故 ， ． （3），所以相互独立X，Y分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X和Y的联合分布X和Y的边缘分布X和Y的独立性． 解 定义下列随机变量： （1）在有放回取球条件下 ， ， ， ． Y X .1 2 1 2 1/9 2/9 2/9 4/9 （2）边缘分布列 X 1 2 P 1/3 2/3 Y 1 2 P 1/3 2/3 （3）由于，所以相互独立 随机量在区域服从均匀分布，的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量是否独立． 解 区域的面积为， 所以的联合密度函数 X和Y的边缘密度函数 故 ， ． 由于 ，所以独立甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率为求甲、乙命中次数X与Y的联合概率分布，据公式可算得X和Y的，． 由X和Y的X和Y的 Y X .0 1 2 0 1 2 0.16 0.32 0.16 0.08 0.16 0.08 0.01 0.02 0.01 习 题3.3 （1）； ； （2）. 5. 设随机变量（X,Y）的密度函数为 求（修改后的题） 解 6. 设随机变量X与Y独立，它们的概率密度分别为 求（修改后的题） 解 因为X与Y独立，所以（X,Y）的密度函数为 习 题3.4 2． 设与的联合密度为， 求． 解 （1）设D为所围区域，则 ． （2） ． 4． 设且，求：（1）与的联合概率分布；（2） ， 有四个可能取值：，且由题意，有 ， ， ， ． 与的联合概率分布0 1 0 1 0 （2）的概率分布为 故 ． 5． 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1)(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，求随机变量的方差X和Y的联合 ， ， 从而 ．同理，． ，， ． 方法2 ， ， ．习 题3.5 2． 在n次独立试验中，事件A在第i次试验中发生的概率为，证明：事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平均值． 证明 设X表示在n次试验中事件A发生的次数，若引入随机变量 ，，则．服从0—1分布，，故 ．， 故 ，即方差有公共的上界. 因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的，有 ， 即 ．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于． 为第i箱的重量．．视为独立同分布的随机变量．，易算得．近似服从正态分布．，即有 由