概统1.3节讲述.ppt

§1.3 独立性 1.3.1 事件的独立性 例1.15 会甲、乙两名射手, 同时向一个靶子 射击一次, 它击中靶子的概率分别是0.8与0.9.求靶子被击中的概率. 例1.16 加工某一零件共需经过3道工序, 设第 一、二、三道工序的次品率分别是1%,2%,3%. 假定各道工序互不影响, 求加工出来的零件的次品率. 例1.17 设某型号高炮每次击中飞机的概率为 0.25, 问至少需要配备多少门这种高炮, 才能使同时独立发射一次就能击中飞机的概率达到95%以上. 伯努利 * 例1.14 设试验为: 先掷一枚匀质的硬币，观察正、反面情况；再掷一枚匀质的每面涂有红、黄、蓝、白颜色的正四面体, 观察其底面颜色. 则 ={(正,红),(红,正),(正,蓝),(正,白), (反,红),(反,黄),(反,蓝),(反,白)} 若令A={硬币掷出正面}, B={四面体底面为蓝色},则 可见: 报事件 A 发生与否对 B 发生的概率没 有影响可视为事件A与B相互独立 定义1.6 设 A , B 为两事件，若 则称事件 A 与事件 B 相互独立 解 设 A={甲击中靶子} , B={ 乙击中靶子} 事件“击中靶子 ”为 且可认为事件A, B相互独立, 因此有 四对事件 任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 事实上 定理1.1 三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立： 注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 (1) (2) A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立 定义1.7 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立 定义1.8 常由实际问题的意义 判断事件的独立性 若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立. 命题 利用独立事件的性质 计算其并事件的概率 若 A1, A2, …, An 相互独立, 则 当 ，则 特别， 解 设Ai={第i道工序出现次品} (i=1,2,3), A={加工出来的零件是次品} 依题意 且相互独立. 于是所求次品率为 解 设n 为所需要配备的高炮门数, A={击中飞机} Ai={第i门炮击中飞机} 依题意 即 将 代入得 解得 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联 并联 1 2 2 1 系统的可靠性问题 例1.18 例6 设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性. A1 A2 B2 B1 S1: A1 A2 B2 B1 S2: 注 利用导数可证, 当 时, 恒有 n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为 且 伯努利试验概型 每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的 试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果： n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型： 伯努利试验 例1.19 袋中有3个白球,2个红球,有放回地 取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的 概率. 解 古典概型 设 B 表示4个球中恰有2个白球 例7 解二 每取一个球看作是做了一次试验 记取得白球为事件 A ， 有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai 感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率 一般地，若 则 例1.20 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率. 解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=2~8, 标被击毁为事件B, 各炮命中概率 p = 0.6, 则 例8 设目 伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士数学家 概率论的奠基人 伯努利 (Jacob Bernoulli )简介 伯努利家属祖孙三代出过十多位 数学家. 这在世界数学史上绝无仅有. 伯努利幼年遵从父亲意见学神学, 当读了 R 笛卡尔的书后,顿