初二自招内容：一元二次方程、整数根讲义.docx

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：初二 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型 C 韦达定理 C 整数根 T 能力检测 授课日期及时段 2016.09.13 教学内容 韦达定理 知识梳理： 根与系数之间的关系： 设和是一元次方程的两个根，则（其中均为实数） 利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程而知其根的正负性质： 一元二次方程在的条件下： (1)时，方程的两根必然一正一负； (2)时，方程的正根不小于负根的绝对值； (3)时，方程的正根小于负根的绝对值； (4)时，方程的两根同正或同负. 例题精讲： 例1、已知是关于的方程的两个根，求的值。 例2、方程的实数根为，求的值。 例3、设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、，（1）若，求的值；（2）求的最大值。 整数根 知识梳理： 1、当含有某个参数的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定方程。 2、一元二次方程在时有实数根，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须为完全平方数，并且为的整数倍。故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。可由不等式求出参数的范围，再求解。 （2）再设参数法，即设（是整数）。当为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。 此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。 3、韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有： （1）从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程。 （2）利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。 4、在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元，必要时也可以反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。 （1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。 （2）当方程中参数的次数为二次时，可考虑参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如再利用判别式，韦达定理）来处理。 例题精讲： 例1、是什么整数时，方程有两个不相等的正整数根。 说明：一般来数，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样的。有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法。 例2、求当为何整数时，关于的一元二次方程的根都是整数。 说明：从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数跟的前提是有实根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数的取值范围，再由是整数的条件，确定其值。不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。 例3、设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值。 说明：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质，解不定方程等手段可以将问题解决。 例4、关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的值。 说明：本题是前面方法的“综合”。既要用判别式是平方数，又要用直接求根。有时候，往往是几种方法一同使用。 同步练习： 一. 利用判别式 例1.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。 例2．已知方程 有两个不相等的正整数根，求m的值。 二. 利用求根公式 例3．设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。 四.利用因式分解 例5.已知关于x的方程的根都是整数， 那么符合条件的整数a有___________个. 例6.当m是什么整数时,关于x的方程的两根都是整数? 五.利用根与系数的关系 例7.求所有正实数a,使得方程仅有整数根. 六.构造新方程 例8.方程有两个整数根,求a的值. 七.构造等式 例9．求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程的所有的根都是正整数. 八.分析等式 例10. n为正整数，方程有一个整数根，则n=__________. 九.反客为主 例11求出所有正整数a,使方程至少有一个整数根. 十.利用配方法 例12．已知方程有两个不等的负整数根,则整数a的值是__________. 十一.利用奇偶分析 例13.已知方程有两个质数根，则常数a=____