两角和与差的正弦、余弦和正切[整理].doc

两角和与差的正弦、余弦和正切一、教学目标1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二、重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三、知识梳理【《创新设计》P57】四、精选例题+变式训练考点一　三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)(2012·重庆卷改编)eq \f(sin 47°－sin 17°cos 30°,cos 17°)＝________. (2)eq \f(cos2α－sin2α,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝________.(3)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°)＝________.规律揭示：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．【训练1】求值：【训练2】化简：（1）eq \f(?1＋sin θ＋cos θ?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(θ,2)－cos \f(θ,2))),\r(2＋2cos θ)) (其中：0θπ)；（2）.考点二　三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】(1)已知cos α＝eq \f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cos(α－β)的值．(2)已知0βeq \f(π,2)απ，且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，求cos(α＋β)的值；(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，求2α－β的值．规律揭示：(1) 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：eq \f(α＋β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))；α＝(α－β)＋β等；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))；15°＝45°－30°等．(2)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(3)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．【训练1】已知cos α＝eq \f(1,7)，cos(α－β)＝eq \f(13,14)，且0βαeq \f(π,2).(1)求tan 2α的值； (2)求β.【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________．考点三 三角变换的简单应用【例3】已知f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan x)))sin2x－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).(1)若tan α＝2